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1、新高考高考数学（理科）总复习汇编5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验对方向1.(2018全国9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.B.C.D.答案C解析以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,).=(-1,0,),=(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成的角为.cos =.异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.2.(2017全国10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=12
2、0,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=,AB1=,则MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在MQP中,可知MP=.在PMN中,cosPNM=-,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.方法二:把三棱柱
3、ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D.由题意可知BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,所以cosBC1D=,故选C.3.(2016全国11)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1
4、A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为.4.(2017全国16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,
5、斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=.又在RtBDE中,BE=2,DE=,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,
6、由圆的对称性可知BF=DE=,ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.新题演练提能刷高分1.(2018百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=2,BAD=60,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,F,F分别为PD,CD的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析如图,取AD的中点O,连接OP,OB,由题意可得PO平面ABCD.在AOB中,OA=1,AB=2,OAB=60,则由余弦定理得
7、OB=,所以OBAD,因此可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),E-,0,B(0,0),F-,0,=-,0,=-,-,0,cos=.异面直线AE与BF所成角的余弦值为.选B.2.(2018陕西质量检测)已知ABC与BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为,则cos =()A.-B.C.-D.答案D解析如图,设等边三角形的边长为4.等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,取BC中点O,则AOBCOD,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz.则A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),
8、=(0,-2,-2),=(2,-2,0),故cos=,异面直线AB和CD所成角的余弦值为,故选D.3.(2018贵州凯里模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为.答案解析设外接球的半径为R,则4R2=16,解得R=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2R)2=16,故x=,在RtBDD1中,DD1B即为异面直线所成的角,其余弦值为.4.(2018四川乐山半期联考)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别为AB,AC,CD中点,且AD=BC=2,EG=,则异面直线AD与BC所成的角的
9、大小为.答案60解析由三角形中位线的性质可知EFBC,GFAD,则EFG或其补角即为所求,由几何关系有EF=BC=1,GF=AD=1,由余弦定理可得cosEFG=-,则EFG=120,所以异面直线AD与BC所成的角的大小为180-120=60.5.(2018安徽淮南、宿城联考)在如图所示的三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,ABAC,D是PC的中点.AB=2,AC=2,PA=2.则异面直线PB与AD所成角的余弦值为.答案解析如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1),=(0,1),=(2,0,-2),cos=,
10、故答案为.6.(2018安徽、山西等五省六校联考)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如图2,将DAE沿AE折起,使折后平面DAE平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为.答案解析取AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=CF,连接BF,DF,OF,则BFAE,所以DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.DA=DE=1,DOAE,且|AO|=|DO|=,在ABO中,根据余弦定理得cosOAB=cos 45=.|BO|=.同理可得|OF|=.又平面DAE平面ABCE,平面DAE平面ABCE=AE,DO平面DAE,DO平面ABCE.BO平面ABC
11、E,DOBO,|BD|2=|BO|2+|DO|2=3,即|BD|=,同理可得|DF|=.又BF=AE=,在DBF中,cosDBF=-,两直线的夹角的取值范围为0,异面直线AE和DB所成角的余弦值为.命题角度2空间位置关系的综合判断高考真题体验对方向1.(2018全国12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.答案A解析满足题设的平面可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A1BC平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S=(1-a)+a+a2-
12、3(a)2(-2a2+2a+1),所以当a=时,Smax=.2.(2015安徽5)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A选项,可能相交;B选项m,n可能相交,也可能异面;C选项若与相交,则在内平行于它们交线的直线一定平行于;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确.3.(2016全国14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,
13、m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案解析对于,若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有.新题演练提能刷高分1.(2018福建厦门期末)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,m,则mB.若m,nm,则nC.若m,n,m,n,则D.若m,m,=n,则mn答案D解析选项A中,m与的关系是m或m,故A不正确;选项B中,n与的关系是n或n与相交但不垂直或n,故B不正确;选项C中,与之间的关系是或相交,故C不正确;选项D中,由线面平行的性质可得正确.故选D.2.(2018湖北重点高中协作体期中)已知直线l,m,平面,且l,m,下列命题:lm;lm;lm;lm,其中正确的序号是()A.B.C.D.答案B解析l,l,而m,所以lm,对;l,m,时,l,m位置关系不定;l,lmm,而m,所以,对;l,m,lm时,位置关系不定.故选B.3.(2018广西南宁期末)设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个
