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1、管理资源吧（），提供海量管理资料免费下载！第四章 贝叶斯分析Bayesean Analysis4.0引言一、决策问题的表格表示损失矩阵 对无观察(No-data)问题 a= 可用表格(损失矩阵)替代决策树来描述决策问题的后果(损失): ()()()或 ()()()损失矩阵直观、运算方便 二、决策原则 通常，要根据某种原则来选择决策规则，使结果最优(或满意)，这种原则就叫决策原则，贝叶斯分析的决策原则是使期望效用极大。本章在介绍贝叶斯分析以前先介绍芙他决策原则。三、决策问题的分类：1.不确定型(非确定型) 自然状态不确定,且各种状态的概率无法估计.2.风险型 自然状态不确定,但各种状态的概率可以
2、估计.四、按状态优于： I, 且至少对某个i严格不等式成立, 则称行动按状态优于4.1 不确定型决策问题一、极小化极大(wald)原则(法则、准则) l ( , ) 或 例:1087941921316121469810 各行动最大损失: 13 16 12 14 其中损失最小的损失对应于行动. 采用该原则者极端保守, 是悲观主义者, 认为老天总跟自己作对.二、极小化极小 l ( , ) 或 例:1087941921316121469810 各行动最小损失: 4 1 7 2 其中损失最小的是行动. 采用该原则者极端冒险，是乐观主义者，认为总能撞大运。三、Hurwitz准则上两法的折衷，取乐观系数入
3、 l ( , )（1 l ( , )例如 =0.5时 : 2 0.5 3.5 1 （1: 6.5 8 6 7 两者之和： 8.5 8.5 9.5 8其中损失最小的是：行动四、等概率准则(Laplace) 用 来评价行动 的优劣 选 上例： : 33 34 36 35 其中行动 的损失最小五、后梅值极小化极大准则(svage-Niehans)定义后梅值 =- 其中为自然状态为 时采取不同行动时的最小损失.构成后梅值(机会成本)矩阵 S= ,使后梅值极小化极大,即: 例:损失矩阵同上, 后梅值矩阵为: 3 1 0 2 3 0 8 1 1 4 0 2 0 3 2 4各种行动的最大后梅值为: 3 4
4、8 4 其中行动a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值极小化极大准则应采取行动1.六、Krelle准则：使损失是效用的负数(后果的效用化),再用等概率(Laplace)准则.七、莫尔诺(Molnor)对理想决策准则的要求 (1954) 1.能把方案或行动排居完全序； 2.优劣次序与行动及状态的编号无关； 3.若行动 按状态优于，则应有 优于 ； 4.无关方案独立性：已经考虑过的若干行动的优劣不因增加新的行动而改变； 5.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各行动间的优劣次序不变； 6.在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相同，则各行动的优劣次序不变。4.2 风险型决策问题的决策原则一
5、、最大可能值准则 令 ()=max() 选 使 l(,)=l(,)例：()0.276.560.53450.3410 () 概率最大, 各行动损失为 3 4 5 应选行动二、贝叶斯原则使期望损失极小： l( , ) () 上例中,各行动的期望损失分别为 4.1 3.6 3.7, 对应于的期望损失3.6最小应选.三、贝努利原则损失函数取后果效用的负值,再用Bayes原则求最优行动.四、EV(均值方差)准则 若 且 则优于通常不存在这样的 上例中: E 4.1 3.6 3.7 V() 2.29 3.79 5.967不存在符合EV准则的行动, 这时可采用f(,)的值来判断(为效益型后果的期望) - f
6、( ，)= - -(+) f越大越优.五、不完全信息情况下的决策原则(Hodges-Lehmann原则) 状态概率分布不可靠时, 可采用: ()= + i=1,2, ,m j=1,2,n 越大越优.4.3贝叶斯定理一、条件概率1.A、B为随机试验E中的两个事件 P(AB)=P(AB)/P(B)由全概率公式: j=1,2,n 是样本空间的一个划分, P(B)=P(B|)P()得Bayes公式 P(|B)=P(B|)P()/P(B) = P(B|)P()/P(B|)P()2. 对,两个随机变量条件概率密度 f(| x)=f(x |)f()/f(x) 在主观概率论中 (| x)=f(x |)()/m
7、(x)其中：()是的先验概率密度函数 f(x)是出现时，x的条件概率密度,又称似然函数. m(x)是x的边缘密度, 或称预测密度. m(x)= f(x |)() d 或 p(x|)() (x)是观察值为x的后验概率密度。例：A 坛中白球30%黑球70% B 坛中白球70%黑球30%两坛外形相同，从中任取一坛，作放回摸球12次,其中白球4次，黑球8次，求所取为A坛的概率.解：设观察值4白8黑事件为x，记取A坛为 , 取B坛为 在未作观察时，先验概率p()=p()=0.5 则在作观察后，后验概率 P(|x)=p(x|)p()p(x|)p()+p(x|)p() =0.5(0.5+0.5) =() =
8、0.24010.2482 =0.967 显然, 通过试验、观察、可修正先验分布.4.4 贝叶斯分析的正规型与扩展型一、正规型分析由Baysean原则：先验分布为()时，最优的决策规则是贝叶斯规则,使贝叶斯风险 r(, )= r(,(x)其中：r(,(x)= R(,(x) = l(,(x) = l(,(x) f(x |)dx() d (1) 据(1)式，选使r(，)达到极小，这就是正规型的贝叶斯分析。 在解实际问题时，求使(1)式极小的(x)往往十分困难，尤其在状态和观察值比较复杂时，集中的策略数目很大，穷举所有的(x)有困难，且计算量颇大。实际上可用下法：二、扩展型贝叶斯分析(Extensiv
9、e Form Analysis)在(1)式中因l(,)-，f(x)，()均为有限值。由Fubini定理，积分次序可换即r(,(x)= l(,(x) f(x |)dx() d = l(,(x) f(x |)() ddx (2)显然，要使(2)式达到极小，应当对每个xX，选择，使 l(,(x) f(x |)() d （2）为极小(x)=a 若对给定的x,选a，使 l(,(x) f(x |)() d 为极小亦即，使 l(,a) f(x |)() d =l(,a) (|x) d 或 l(,a)p(|x) (3) 达极小，即可使(1)式为极小.结论： 对每个x，选择行动a，使之对给定x时的后验分布(x)
10、的期望损失为极小，即可求得贝叶斯规则。 这种方法叫贝叶斯分析的扩展型，由此确定的贝叶斯规则叫formal Bayesean Rule Raiffa Sehlaifer,1961年提出。Note使(3)式达极小的行动可能不只一个，即可能有多个贝叶斯规则；扩展型比正规型更直观，也容易计算，故更常用；许多分析人员只承认扩型，理由是： i，(x)描述了试验后的的分布，比()更客观，因此，只要损失函数是由效用理论导出的(即考虑了DMer的价值判断、风险偏好)，在评价行动a的优劣时就应当用后验期望损失。 ii, r(，)是根据()求出的，而用先验分布()来确定行动a并不一定适当。 从根本上讲，这种观点是正确的。无论从何种观点来进行贝叶斯分析，从理论上讲，结果是一样的，所以采用何种方法可视具体问题，据计算方便而定。已经证明，形式贝叶斯分析对一类非随机性决策规则是成立的，也可以证明它对随机性决策规则同样成立。使所有x上后验期望损失极小的贝叶斯规则也是随机性规则集*中的Bayes规则，因此，总可以找到一验期望损失极小的非随机性规则。三、例
