《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3导数在研究函数中的应用3 3 1函数的单调性与导数 主题1函数的单调性与导数的关系1 如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10的图象 图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v t h t 9 8t 6 5的图象 1 运动员从起点到最高点 离水面的高度随时间的增加而增加 即t 0 a 时 h t 是单调 此时 v t h t 9 8t 6 5 0 2 从最高点到入水 运动员离水面的高度随时间的增加而减少 即t a b 时 h t 是单调 相应地 v t h t 9 8t 6 5 0 递增 递减 2 观察下面函数的图象 探讨函数的单调性与其导数
2、正负的关系 1 观察图象 完成下列填空 图 中的函数y x的导函数y 此函数的单调递增区间为 图 中的函数y x2的导函数y 此函数的单调递增区间为 单调递减区间为 图 中的函数y x3的导函数y 此函数的单调递增区间为 1 2x 0 0 3x2 图 中的函数y 的导函数y 此函数的单调递减区间为 0 0 2 根据 1 中的导函数与单调区间之间的关系 思考函数的单调性与导函数的正 负有什么关系 提示 根据 1 中的结果可以看出 函数的单调区间与导函数的正负有关 当导函数在某区间上大于0时 此时对应的函数为增函数 当导函数在某区间上小于0时 此时对应的函数为减函数 3 观察下图 请完成下表 减
3、正 正 0 0 结论 在区间 a b 内函数的单调性与导数的关系 增 减 主题2函数变化的快慢与导数的关系1 在同一坐标系中画出函数y 2x y 3x y y x2 y x3的图象 提示 这几个函数的图象如图所示 2 观察以上函数的图象 当x 0时 函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比 你发现了什么 提示 增长速度快的 导函数值大 增长速度慢的 导函数值小 结论 函数变化的快慢与导数间的关系一般地 如果一个函数在某一范围内导数的 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 绝对值较 大 大 小 大 小 微思考 1 回忆函数单调性的常规
4、定义 分析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系 提示 增函数时有 0也即 0 对式子求极限 若极限值大于0 则导数大于0 从而为增函数 减函数时有 0也即 0 对式子求极限 若极限值小于0 则导数小于0 从而为减函数 2 在区间 a b 上 如果f x 0 则f x 在该区间上单调递增 但反过来也成立吗 提示 不一定成立 例如 f x x3在R上为增函数 但f 0 0 即f x 0是f x 在该区间上单调递增的充分不必要条件 3 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么如何表示这些区间 函数的单调区间与其定义域满足什么关系 提示 不能用 连接 只能用 或 和 字隔开 函数的单调性是
5、对函数定义域内的某个子区间而言的 故单调区间是定义域的子集 预习自测 1 函数f x x lnx在 0 6 上是 A 单调增函数B 单调减函数C 在上是减函数 在上是增函数D 在上是增函数 在上是减函数 解析 选A 因为x 0 6 所以f x 1 0 故函数在 0 6 上单调递增 2 f x 在 a b 内可导 若f x 0 则f x 在 a b 内是 A 增函数B 减函数C 奇函数D 偶函数 解析 选B 易知导函数f x 0 f x 单调递减 3 函数y 2 3x2在区间 1 1 上的增减性为 A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增 解析 选C y 6x 故当x 1 0 时 y 0 当
6、x 0 1 时 y 0 所以原函数在区间 1 1 上先增后减 4 已知函数y xf x 的图象如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 下列四个图象中为y f x 的大致图象的是 解析 选C 由题图知 当x0 函数y f x 单调递增 当 10 所以f x 0 函数y f x 单调递减 当0 x 1时 xf x 0 所以f x 0 函数y f x 单调递减 当x 1时 xf x 0 所以f x 0 函数y f x 单调递增 5 函数y x lnx的单调递减区间是 解析 定义域是 0 由y 1 0及定义域得0 x 1 单调递减区间是 0 1 答案 0 1 6 求下列函数的单调区间 1 f x
7、 2x ex 1 x2 2 f x x x2 lnx 解析 1 f x 2 ex 1 xex x 2 ex 1 x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 0 时 f x 0 故f x 在 1 0 上单调递增 在 1 0 上单调递减 2 函数的定义域为 0 f x 1 2x 令f x 0 解得01 所以f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 类型一函数单调区间的判断及求解 典例1 1 2015 陕西高考 设f x x sinx 则f x A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 是有零点的减函数D 是没有零点的奇函数 2 求函数f x 3x2 2lnx的单调区间 解题指南
8、 1 利用奇偶性的定义判断f x x sinx的奇偶性 利用导数判断其单调性 2 先求导 令导函数值大于0 得到增区间 令导函数值小于0 得到减区间 解析 1 选B 因为f x x sin x x sinx f x 所以f x 为奇函数 又f x 1 cosx 0 所以f x 单调递增 选B 2 f x 3x2 2lnx的定义域为 0 则f x 6x 由f x 0得6x2 2 0 即x2 则x 或x0 所以0 x 所以递减区间为 方法总结 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或
9、f x 0 巩固训练 求下列函数的单调区间 1 f x x x3 2 f x x2 lnx 解析 1 f x 1 3x2 令1 3x2 0 解得 因此 函数f x 的单调减区间为 2 函数f x 的定义域为 0 f x 2x 因为x 0 所以x 1 0 由f x 0 解得x 所以函数f x 的单调递增区间为由f x 0 解得x 又x 0 所以函数f x 的单调递减区间为 补偿训练 求下列函数的单调区间 1 f x x3 2 y xex 解析 1 f x 3x2 由f x 0 解得x1 由f x 0 解得 1 x 1 且x 0 所以函数的单调递增区间为 1 1 单调递减区间为 1 0 0 1 2
10、 y ex xex ex 1 x 令y 0 得x 1 令y 0 得x 1 因此 y xex的单调递增区间为 1 单调递减区间为 1 类型二原函数与导函数图象间的关系 典例2 1 函数y f x 的图象如图所示 则导函数y f x 的图象的大致形状是 2 函数y f x 在定义域内可导 其图象如图 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集为 解题指南 1 利用函数的单调性判断导数的符号 利用导数的符号判断导函数图象的位置 在x轴上方还是下方 2 当函数单调递减时f x 0 所以只要找出函数的单调递减区间即可 解析 1 选D 根据图象可知 函数f x 先单调递减 后单调递增 后
11、为常数 因此f x 对应的变化规律为先负 后正 后为零 2 函数y f x 在区间和区间 2 3 上单调递减 所以在区间和区间 2 3 上 y f x 0 所以f x 0的解集为 2 3 答案 2 3 延伸探究 1 若本例 2 中的条件不变 试求不等式f x 0的解集 解析 根据题目中的图象 函数y f x 在区间和区间 1 2 上函数为增函数 所以在区间和区间 1 2 上 y f x 0 所以f x 0的解集为 1 2 2 若本例 2 中的条件不变 试求不等式xf x 0的解集 解析 由典例 2 及延伸探究1以及已知条件可知 当x 时 函数为减函数 则f x 0 综上可知 xf x 0的解集
12、为 1 2 方法总结 判断函数与导数图象间对应关系的两个关键第一 要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象 第二 注意以下两个方面 1 函数的单调性与其导函数的正 负的关系 在某个区间 a b 内 若f x 0 则y f x 在 a b 上单调递增 如果f x 0 则y f x 在这个区间上单调递减 若恒有f x 0 则y f x 是常数函数 不具有单调性 2 导数与函数图象的关系 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f x 0且越来越大 f x 0且越来越小 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 f x 0且越来越小 f x 0且越来越大 绝对值越来越大 绝对值越来越小 补
13、偿训练 函数f x 的图象如图所示 则导函数y f x 的图象可能是 解析 选D 从原函数y f x 的图象可以看出 其在区间 0 上是减函数 f x 0 在区间 x1 x2 上是减函数 f x 0 结合选项可知 只有D项满足 类型三利用函数的单调性求参数的范围 典例3 1 若f x ax3 x在区间 1 1 上单调递增 求a的取值范围 2 2017 广州高二检测 设函数f x x2 ax lnx a R 若f x 在区间 0 1 上是减函数 求实数a的取值范围 解题指南 1 由f x ax3 x在区间 1 1 上单调递增 可得出利用不等式f x 0在 1 1 上恒成立 确定a的取值范围 2
14、把f x 在区间 0 1 上是减函数 转化为f x 0对任意x 0 1 恒成立 解析 1 f x 3ax2 1 因为f x 在区间 1 1 上单调递增 所以f x 3ax2 1 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 显然成立 当x 0时 a 因为 在x 1 0 0 1 的最大值为 所以a 故a的取值范围是 2 f x 2x a 因为f x 在区间 0 1 上是减函数 所以f x 0对任意x 0 1 恒成立 即2x a 0对任意x 0 1 恒成立 所以a 2x对任意x 0 1 恒成立 令g x 2x 所以a g x min 易知g x 在 0 1 上单调递减 所以g x min g 1 1 所以a
15、 1 延伸探究 在本例 1 中f x ax3 x在区间 1 1 上能否单调递减 解析 假设能单调递减 f x 3ax2 1 因为f x 在区间 1 1 上单调递减 所以f x 3ax2 1 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 显然不成立 当x 0时 a 因为 在x 1 0 0 1 上不存在最小值 所以满足条件的a值不存在 所以f x ax3 x在区间 1 1 上不能单调递减 方法总结 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 巩固训练 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 求a的取值范围 解析 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意需对于任意x 0 1 有f x 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即00 不符合条件 故a的取值范围为 0 1 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 单调性的判断或证明方法 求导 判断导数正负 结论 2 求单调区间的方法 求导 解导数不等式 单调区间
