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1、第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 1 页 共 12 页24 多维随机变量及其分布在前面几节我们讨论的随机变量，实际上也是一维随机变量，即随机变量 是一个实数但在许X多问题中，我们遇到的大多是多维随机变量例如，我们考察某地区居民的身体健康状况，则样本空间 是该地区全体居民，该地区的每一个居民是一个样本点 ，设 表示该地区居民的身高， 表示Y该地区居民的体重， 表示该地区居民的肺活量，则 、 、 是三个随机变量，我们称ZXYZ为三维随机变量同理，我们也可以定义多维随机变量YX，一多维随机变量及其分布函数定义 设 E 是一个随机试验， 是其样本空间，niXii ， 21都是 上的一维随机变量，
2、则称nX， 21为 上的 维随机变量n当 时，我们称 为二维随机变量即有2YX，定义 设 E是一个随机试验， 是其样本空间，与 Y都是 上的一维随机变量，则称X，为 上的二维随机变量对于以上定义，我们作以下说明：我们称二维及以上的随机变量为多维随机变量，或者为多维随机向量；我们称 维随机变量 中每一个 为此 维随nnXX， 21 ni， 21机变量 的分量，称 为 维随机变量 的第 个分量；nX， 21 i X， i我们不应把多维随机变量看作是若干个一维随机变量的机械组合，而应把 维随机变量n看作是一个整体因为 维随机变量 中每一个分量n， 21 nX， 21第二章 第四节 多维随机变量及其分
3、布第 2 页 共 12 页之间都是有联系的我们在开始讨论 维随机变量时，更应当注意分量之间niX， 21 n的联系我们在讨论 维随机变量时，主要讨论二维随机变量因为二维随机变量的一些性质是有别于一维随机变量的；但二维以上的随机变量的性质与二维随机变量的性质是类似的我们讨论 维随机变量，首先讨论 维随机变量的分布函数nn定义 设 是一 维随机变量，则对于任意的 维实数组nXX， 21 n，称 元函数nxx， 21 niiinxPxxF121，为 维随机变量 的分布函nnXX， 21数为方便起见，我们记 为niiix1，即nXxX， 21nniii xx ， 211因此， 维随机变量 的分nnXX
4、， 21布函数的定义可写为nn xxPxxF ， 2121（2.4.1）特别地，二维随机变量的分布函数为（2.4.2）yYxXPyxF，为了与后面所讲的边缘分布相区别，我们也称为二维随机变量 的联合分布函， ， （图 2.7）yx，Oyx（图 2.8）xOy1x21y2y第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 3 页 共 12 页数如果我们把二维随机变量 看作平面上的随机点，则由（2.4.2）式可知，二维随机变量的YX，分布函数 就是二维随机变量 落在平面上以 为右上顶点、其两条边分别平行yxF， ， yx，于两条坐标轴的无穷矩形中的概率（见图 2.7）设 ， ，则二维随机变量 落在以 、 、
5、 、2121 YX， 1， 2， 1yx，为顶点的矩形（见图 2.8）中的概率为2yx，2121yYxXP， 212xPy11yx22yFy， 12xFx， 即有 （2.4.3）1122122121 yxFyxyyYxXP ， 下面，我们讨论二维随机变量 的分布函数 的性质：X， F，性质一 对每一个变量是单调不减的即yxF，当 时， ；当 时， 21yxF， 2121y21yxFyx， 性质二 对每一个变量是右连续的即yx，对任意的 ， ；对任意的 ， 0yxx， 00lim0y00limyxy， 性质三 对任意的 ，有 ；对任意的 ，有 ；以及二重极yliFx， xF，限 另外还有极限 l
6、ixFyx， 1yy，性质四 对任意的 ， ，有21x2101122 yxFyxFy ，如同一维随机变量的性质一样，二维随机变量分布函数的上述四条性质是二维随机变量分布函数的四条基本性质即任何二维随机变量的分布函数都具有上述四条性质；反之，用概率论的进一步知识我们还可以证明，如果一个二元函数 具有上述四条性质，则此二元函数 一定是yx， yxF，第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 4 页 共 12 页某一个二维随机变量 的分布函数这里需要指出的是，在上述四条性质中，性质四是独立于YX，其它三条性质之外的这一点与一维随机变量分布函数的性质是有区别的二二维离散型随机变量在前面两节，我们讨论了一
7、维离散型随机变量和连续型随机变量，并指出它们是两类主要的一维随机变量在这两段，我们将离散型随机变量与连续型随机变量的概念推广到二维随机变量上来，并讨论它们的性质定义 如果二维随机变量 只取有限个或可列个值，则称 为二维离散型随机变YX， YX，量设随机变量 的可能取值为X， 21ix随机变量 的可能取值为Y ，jyj则二维离散型随机变量 的可能取值为YX， ， 21jiyxji并设（2.4.4）， jipYXPjiji我们称（2.4.4）式为二维离散型随机变量 的（联合）分布律X，二维离散型随机变量 的（联合）分布律也可以写为，第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 5 页 共 12 页YX1
8、y2y jy1x1p12p jp12212 j2 ix1ip2ip jip （2.4.5）如同一维离散型随机变量的分布律一样，二维离散型随机变量的分布律有如下性质：性质一 对任意的 ，有ji，；0jip性质二 1jiip，设 为二维离散型随机变量，其分布律如（2.4.4）所示， 是其分布函数，则有YX， yxF，（2.4.6）yxjiipF，例 1 掷 3 枚均匀的硬币，设：前两枚硬币出现正面的次数；X：三次抛掷中出现正面的次数与出现反面的次数差的绝对值Y试求 的联合分布律，解： 的取值为 0，1，2； 的取值为 1，3且Y，81次 为 正 面前 两 次 都 是 反 面 ， 第 三， PYXP
9、，83三 次 都 是 反 面，第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 6 页 共 12 页，211前 两 次 中 有 一 次 为 正 面， PYXP，03 P， 但 三 次 为 同 一 面前 两 次 中 只 有 一 次 正 面，82是 反 面前 两 次 为 正 面 ， 第 三 次，81三 次 都 是 正 面， PYXP写成表格（2.4.5）的形式，得 的联合分布律为：YX，1 30 8811 202 1例 2 一批产品的一等品率为 0.65，二等品率为 0.25，其余的为三等品现从这批产品中任取一件，令， ，其 它取 出 的 为 一 等 品01X其 它取 出 的 为 二 等 品01Y试求 的联
10、合分布律Y，解： ，1.抽 出 的 为 三 等 品， PP，25010抽 出 的 为 二 等 品，X，6.抽 出 的 为 一 等 品， Y0PPP为 二 等 品抽 出 的 既 为 一 等 品 ， 又，由此得 的联合分布律为：X，Y0 10 0.10 0.251 0.65 0例 3 袋中有 6 只黑球和 4 只白球，现先后从中各取出一只球，若采用有放回摸球；不放回摸球的方式，令第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 7 页 共 12 页， ，第 一 次 取 出 白 球第 一 次 取 出 黑 球01X第 二 次 取 出 白 球第 二 次 取 出 黑 球01Y试就上面的两种方式求出 的联合分布律Y，
11、解：若采用有放回的方式摸球，则有，16.040两 次 都 摸 出 白 球， PXP，24.01为 黑 球第 一 次 为 白 球 ， 第 二 次， Y，1为 白 球第 一 次 为 黑 球 ， 第 二 次，36.01两 次 都 摸 出 黑 球， PXP由此得 的联合分布律为：Y，X0 10 0.16 0.241 0.24 0.36若采用不放回的方式摸球，则有，15293040两 次 都 摸 出 白 球， PYXP，1549601为 黑 球第 一 次 为 白 球 ， 第 二 次，为 白 球第 一 次 为 黑 球 ， 第 二 次，319506两 次 都 摸 出 黑 球， PYXP由此得 的联合分布律为
12、：，X0 10 152541 41例 4 连续不断地掷一颗均匀的骰子，直到出现小于 5 点时为止，令 表示最后一次出现的点数，X表示掷骰子的次数，试求 的联合分布律YYX，解： 的取值为 1，2，3，4； 的取值为 1，2，3， X第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 8 页 共 12 页的联合分布律为YX，1 2 3 j1 66132 613j2 1j3 2 j4 61613 631j其中1 jijPjYiXP 点次 ， 最 后 一 次 出 现共 掷 骰 子， ，；， 324321i三二维连续型随机变量如同一维连续型随机变量的定义一样，我们可以给出二维连续型随机变量的定义如下：定义 设 是
13、二维随机变量， 是其分布函数，如果存在一个二元非负可积函数YX， yxF，使得对于任意的 ，有yxf， yx，（2.4.7）yxduvf，则称 是二维连续型随机变量称 为 的分布密度函数，或称概率密度函数，YX， f， YX，简称密度函数与一维连续型随机变量密度函数的性质一样，二维连续型随机变量的密度函数 有如下基yxf，本性质：性质一 对任意的 ，有 ；yx， 0yxf，性质二 1df，由公式（2.4.7） ，我们可以得到，对几乎所有的 ，有yx，第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 9 页 共 12 页（2.4.8）yxFf2，特别地，上式对于 的连续点必须成立yxf，设 是二维连续型随
14、机变量 的密度函数，则对平面上的任意区域 ，有f， YX， D（2.4.9）DdxyfP，即对于二维连续型随机变量 来讲， 落在平面上区域 内的概率，等于 的密， ， YX，度函数 在该区域上的二重积分yxf，例 5 设二维连续型随机变量 的密度函数为YX， 其 它， 0222RyxRCyxf试求：常数 ；概率 （其中 ） C22rYXPr解：由密度函数的性质二： ，我们有1dxyf，221RyxCdxf，作极坐标变换 ，则有sincos，3102dRC所以， 3 22 2322 ryxryx dxyRdfrYXP，作极坐标变换 ，则有sincosx，RrdxyRdrYXPr 31320222
