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1、第七章不等式推理与证明7.1不等关系与一元二次不等式专题1不等式的性质及应用(2015河北保定一模,不等式的性质及应用,选择题,理11)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析()A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合适解析:设司机甲每次加油量为x,司机乙每次加油费为y,两次加油的单价分别为a,b,则司机甲两次加油的均价为ax+bx2x=a+b2,司机乙两次加油的均价为2yya+yb=2aba+b且a+b2-2aba+b=(a-b)22(a+b)0.又ab,所以(a-
2、b)22(a+b)0,即a+b22aba+b,所以这两次加油的均价,司机乙的较低,所以乙更合适,故选B.答案:B(2015河北石家庄高三质检二,不等式的性质及应用,选择题,理2)如果ab0,那么下列不等式成立的是()A.-1a-1bB.abb2C.-ab-a2D.|a|b|解析:利用作差法逐一判断.因为1b-1a=a-bab0,所以-1a0,所以abb2,B错误;因为ab-a2=a(b-a)-a2,C错误;ab|b|,D错误,故选A.答案:A7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题1二元一次不等式(组)表示的平面区域问题(2015江西赣州高三摸底考试,二元一次不等式(组)表示的平面区
3、域问题,填空题,理14)若不等式组x-y0,x-2y+20,xm表示的平面区域是面积为169的三角形,则m的值为.解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,所围成的面积为SABC=12m2+1-m(2-m)=169,解得m=-23或m=143(舍去).答案:-23专题2与目标函数有关的最值问题(2015河北保定一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理10)已知x,y满足kx-y+20(k0,b0)的最大值为8,则log22a+1b的最小值为()A.12B.2C.6D.16解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax+by=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内
4、的点(2,4)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时z=ax+by取得最大值,于是有2a+4b=8,即a4+b2=1,2a+1b=2a+1ba4+b2=1+a4b+ba1+2a4bba=2,当且仅当a4b=ba,即a=2b=2时取等号,因此2a+1b的最小值是2,log22a+1b的最小值是log22=2,故选B.答案:B(2015河北石家庄高三质检二,与目标函数有关的最值问题,选择题,理4)已知实数x,y满足条件yx,x+y1,x1,则z=2x+y的最小值为()A.3B.2C.32D.0解析:结合图形求解.作出约束条件对应的平面区域如图,当目标函数y=-2x+z经过点(1,1)时,z取得最
5、小值3,故选A.答案:A(2015江西南昌一模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理5)已知实数x,y满足x+1-y0,x+y-40,ym,若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为()A.4B.3C.2D.-12解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(m-1,m),(4-m,m),32,52为顶点的三角形其中m52,当目标函数y=-2x+z经过点(4-m,m)时,z取得最大值8-m;经过点(m-1,m)时,z取得最小值3m-2,所以(8-m)-(3m-2)=2,解得m=2,故选C.答案:C(2015江西南昌二模,与目标函数有关的最值问题,选择题,理5)若实数x,
6、y满足条件x+y0,x-y+10,0x1,则x-3y的最小值为()A.-5B.-3C.1D.-1解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=x-3y,则y=x3-z3,由图象可知当y=x3-z3经过x=1,x-y+1=0的交点(1,2)时,zmin=-5,故选A.答案:A(2015河北石家庄高三质检一,与目标函数有关的最值问题,填空题,理14)实数x,y满足条件x+y-40,x-2y+20,x0,y0,则z=x-y的最小值为.解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则当目标函数过点A(0,1)时,z=x-y取得最小值-1.答案:-17.3基本不等式及其应用
7、专题1利用基本不等式求最值(2015河北石家庄二中一模,利用基本不等式求最值,选择题,理12)已知点A(1,-1),B(4,0),C(2,2),平面区域D由所有满足AP=AB+AC(1a,10,则1a1+2b的最小值为.解析:由已知得a2+a3=-2,a4+a5=4,a2012+a2013=2012,a2014+a2015=-2014,把以上各式相加得S2015-a1=-2014+1006=-1008,所以S2015=a1-1008=-1007-b,即a1+b=1,所以1a1+2b=a1+ba1+2(a1+b)b=3+ba1+2a1b3+22.答案:3+22(2015河北石家庄高三质检一,利用
8、基本不等式求最值,填空题,理15)已知圆C:x2+y2=1,过第一象限内一点P(a,b)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,若APB=60,则a+b的最大值为.解析:因为APB=60,PA,PB为切线,所以OPB=30,OBPB.又因为OB=1,所以OP=2,点P满足a2+b2=4(a0,b0),则(a+b)2=4+2ab4+a2+b2=4+4=8,所以a+b的最大值为22.答案:227.4合情推理与演绎推理专题1归纳推理(2015江西南昌二模,归纳推理,填空题,理15)观察下面数表:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,设1 027是该表第m行的第n
9、个数,则m+n等于.解析:该数表的通项公式为ak=2k-1,由2k-1=1027得k=514,所以1027是第514个奇数,前m行共有1+2+22+2m-1=2m-1个奇数.当m=9时,2m-1=511,所以1027是第10行的第3个数,所以m+n=13.答案:13(2015河北石家庄高三质检一,归纳推理,填空题,理16)观察如图所示的三角形数阵,依此规律,则第61行的第2个数是.13356571111791822189112740402711解析:观察数阵可得当n2时,第n行的第2个数为2+1+3+5+2(n-1)-1=2+(n-1)2,所以第61行的第2个数为2+(61-1)2=3602.答案:3 602
