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1、关于组合数学中的分配问题的讨论邮编： 416209 单位：湖南省凤凰县禾库九年制学校 姓名：唐晴电话：13787920270 职称：中教二级 职务：数学教师摘要：本文主要讲述如何解答分配问题，同时还介绍在分析问题时应该注意的方法。关键词：组合、分配、平均、不平均组合数学中的分配问题，即人们常说的“平均分组”与“不平均分组”问题，它既是组合数学中的重点，也是难点，值得广大教学工作者一起探讨。鉴于该类问题的抽象性较大，应用广泛，笔者根据自己的经验与理解，写下了这篇论文，希望对教与学有一定的帮助。1.相关概念1.1平均分组问题平均分成的组，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以 ，即 ，其
2、中 表示组数。至于为什么要除以 呢？读者不妨看下面的例题。例 把 分成平均两组有多少种分法？首先，从 4个字母当中选两个，即 种选法，再选剩下的两个 种选法，根据乘法原理一共 种选法。选得的结果如下：其中相同，相同，相同，所以结果为 种分法。平均分组包括以下两种类别：有分配对象和无分配对象；分配对象确定和分配对象不确定。也就是问题探讨前四种问题：均分无分配对象的问题、均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）、部分均分无分配对象的问题、部分均分有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。1.2不平均分组问题1.有分配对象和无分配对象；2.分配对象确定和分配对象不确定。即
3、问题探讨的后两种问题：非均分组无分配对象的问题、非均分组有分配对象的问题（包括分配对象确定与分配对象不确定）。2.问题探讨2.1均分无分配对象的问题例 2.1 12本不同的书（1） 按 平均分成 堆有多少种不同的分法？（2） 按 平均分成 4堆有多少种不同的分法？解：（1）（2）2.2均分有分配对象的问题例 2.2 6本不同的书（1） 平均分给甲乙丙 3个人，有多少种不同的分法？（分配对象不确定）（2） 甲 2本、乙 2本、丙 2本，有多少种不同的分法？（分配对象确定）解：（1） （种）（2） （种）注意：均分有分配对象的问题，分配对象确定与分配对象不确定是同一回事。2.3部分均分无分配对象的
4、问题例 2.3 12本不同的书按以下方式分配分别有多少种不同的分法？（1） 按 分配；（2） 按 分配；（3） 按 分配。解：（1）（2）(3) 2.4部分均分有分配对象的问题例 2.4 12支笔按如下方式分给 A、B、C、D、E 五个人，分别有多少种不同的分法？（1） 按 分配；（分配对象不确定）（2） A三本、B 三本、C 二本、D 二本、E 二本。（分配对象确定）解：（1）（2）2.5非均分组无分配对象的问题例 2.5 16本不同的书（1） 按 分成 3堆有多少种不同的分法？（2） 按 分成 3堆有多少种不同的分法？（3） 按 分成 4堆有多少种不同的分法？解：（1）（2）（3）注意：非
5、均分无分配对象问题只要按比例分再用乘法原理作积。2.6非均分组有分配对象的问题例 2.6 12本不同的书（1） 按 分给甲乙丙 3人有多少种分法？（分配对象确定）（2） 1人 2本、1 人 4本、1 人 6本分给甲乙丙三人有多少种不同的分法？（分配对象不确定）解：（1）（3）注意：非均分组有分配对象，并且分配对象不确定，要把组数当做元素个数再做排列。3.分配问题的相关变形在掌握了以上基本问题情境的基础上，我们可以把其他更为复杂的组合数学题转化为分配问题，从而达到事半功倍的效果。例 3.1 撒个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则
6、另外三个盒子中小球数分别为 1、1、2.实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各一个，另一组 2个，分好组后再排列。解： （种）例 3.2 有甲、乙、丙三项任务，甲需二人承担，乙、丙各需一人承担，从 10人中选派 4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？解：先考虑分组，共有 种分法；再考虑排列，因为甲任务需 2人承担，所以2人的那组只能承担甲任务，而 1人的组既可以承担乙任务又可承担丙任务。综合起来，不同的选法有 （种）评析：解数学问题时，要学会“具体问题具体分析”，辩证的对待每一个问题，这样才能提高解题能力。例 3.3 把 4名男乒乓球选手和 4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混双
7、比赛，不同的比赛分配方法有多少种？分析：用 1、2、3、4 标记 4名男乒乓球选手，用 a、b、c、d 标记 4名女乒乓球选手，该问题可转化为把男女选手分别平均分配，然后再组合，假设男选手分配为（12）、（34），女选手分配为（ab）、（cd）,则组合可得 8种情况：1a2b,3c4d;1a2b,3d4c;1b2a,3c4d;1b2a,3d4c; 1c2d,3a4b;1c2d,3b4a;1d2c,3a4b;1d2c,3b4a.解：共有 （种）例 3.4 设集合 ， ，A 为定义域，B 为值域，则从集合 A到集合 B不同的函数有多少个？分析：根据函数的概念，可知集合 A、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合 B的每个元素接受集合 A中对应的元素的数目不限，所以此问题可转化为将 A中的 4个元素按分配到 B中的 3个元素里.解： （个） 4.总结对于“平均分组”与“不平均分组”问题，我们要理解各种情况，同时懂得创新，能够将一些其他的排列组合题转化为分配问题来解决，对我们的教与学是大有裨益的。【参考文献】1人民教育出版社数学室编著. 普通高中课程标准实验教科书数学必修 2. 北京：人民教育出版社，2004，7
