《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 文 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 文 苏教版（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 9 6双曲线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内到两个定点F1 F2的等于常数 小于F1F2的正数 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点F1 F2叫做 两焦点间的距离叫做 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 P点的轨迹是双曲线 2 当时 P点的轨迹是两条射线 3 当时 P点不存在 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a F1F2 2a F1F2 2a F1F2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y R x R y a或y a 坐标轴 原点 1 2
2、a 2b 实半轴长 虚半轴长 a2 b2 巧设双曲线方程 1 与双曲线 1 a 0 b 0 有共同渐近线的方程可表示为 t t 0 2 过已知两个点的双曲线方程可设为 1 mn 0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点F1 0 4 F2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 1 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 3 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是 0 即 0 4 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于 5 若双曲线 1 a 0 b 0 与 1 a 0 b 0 的离心率分别是e1 e2 则 1 此结论中两条双曲线称为共轭双曲线 考点自测
3、1 教材改编 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 答案 解析 由题意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 2 若方程 1表示双曲线 则m的取值范围是 由题意知 2 m m 1 0 解得m 1或m 2 答案 解析 2 1 3 2016 无锡一模 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y 那么双曲线的离心率为 答案 解析 根据题意 设双曲线的方程为 1 即双曲线的离心率为 4 2016 江苏 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 1的焦距是 答案 解析 由已知 a2 7 b2 3 则c2 7 3 10 故焦距为2c 5 双曲线 y2 1的顶点到
4、其渐近线的距离等于 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为 2 0 一条渐近线方程是y 即x 2y 0 则顶点到渐近线的距离 题型分类深度剖析 题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 则动圆圆心M的轨迹方程为 答案 解析 x2 1 x 1 几何画板展示 如图所示 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B 根据两圆外切的条件 得MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因为MA MB 所以MC1 AC1 MC2 BC2 即MC2 MC1 BC2 AC1 2 所以点M到两定点C1 C2
5、的距离的差是常数且小于C1C2 6 又根据双曲线的定义 得动点M的轨迹为双曲线的左支 点M与C2的距离大 与C1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 故点M的轨迹方程为x2 1 x 1 命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 虚轴长为12 离心率为 解答 设双曲线的标准方程为 由题意知 2b 12 e b 6 c 10 a 8 双曲线的标准方程为 2 焦距为26 且经过点M 0 12 解答 双曲线经过点M 0 12 M 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 双曲线的标准方程为 设双曲线方
6、程为mx2 ny2 1 mn 0 3 经过两点P 3 和Q 7 解答 双曲线的标准方程为 命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知F1 F2为双曲线C x2 y2 2的左 右焦点 点P在C上 PF1 2PF2 则cos F1PF2 答案 解析 由双曲线的定义有PF1 PF2 PF2 2a PF1 2PF2 几何画板展示 引申探究1 本例中 若将条件 PF1 2PF2 改为 F1PF2 60 则 F1PF2的面积是多少 解答 不妨设点P在双曲线的右支上 则PF1 PF2 2a 在 F1PF2中 由余弦定理 得 所以PF1 PF2 8 所以 2 本例中 若将条件 PF1 2PF2 改为 0 则
7、F1PF2的面积是多少 解答 不妨设点P在双曲线的右支上 则PF1 PF2 2a 所以 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 PF1 PF2 2a 运用平方的方法 建立与PF1 PF2的联系 3 待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然后再根据a b c e及渐近线之间的关系 求出a b的值 如果已知双曲线的渐近线方程 求双曲线的标准方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 思维升华 跟踪训练1 1 已知F1 F2为双
8、曲线 1的左 右焦点 P 3 1 为双曲线内一点 点A在双曲线上 则AP AF2的最小值为 由题意知 AP AF2 AP AF1 2a 要求AP AF2的最小值 只需求AP AF1的最小值 当A P F1三点共线时 取得最小值 AP AF2的最小值为AP AF1 2a 答案 解析 几何画板展示 2 2015 课标全国 已知双曲线过点 4 且渐近线方程为y 则该双曲线的标准方程为 答案 解析 由双曲线的渐近线方程为y 可设该双曲线的标准方程为 y2 0 已知该双曲线过点 4 所以即 1 故所求双曲线的标准方程为 y2 1 题型二双曲线的几何性质例4 1 2016 盐城三模 若圆x2 y2 r2过
9、双曲线 1的右焦点F 且圆与双曲线的渐近线在第一 四象限的交点分别为A B 当四边形OAFB为菱形时 双曲线的离心率为 答案 解析 2 若四边形OAFB为菱形 且点A在圆x2 y2 r2上 则点A坐标为 此时r c 又点A在渐近线上 所以 2 2015 山东 在平面直角坐标系xOy中 双曲线C1 1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线C2 x2 2py p 0 交于点O A B 若 OAB的垂心为C2的焦点 则C1的离心率为 答案 解析 由题意 不妨设直线OA的方程为y 直线OB的方程为y 设抛物线C2的焦点为F 则 OAB的垂心为F AF OB kAF kOB 1 设C1的离心率为e 则 双曲
10、线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率 在双曲线 a 0 b 0 中 离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e2 1 k2 思维升华 跟踪训练2 2016 全国甲卷改编 已知F1 F2是双曲线E 1的左 右焦点 点M在E上 MF1与x轴垂直 sin MF2F1 则E的离心率为 答案 解析 离心率e 由正弦定理得 题型三直线与双曲线的综合问题例5 2016 苏州模拟 已知椭圆C1的方程为 y2 1 双曲线C2的左 右焦点分别是C1的左 右顶点 而C2的左 右顶点分别是C1的左 右焦点 1 求双曲线C2的方程 解答 设双曲线C2的方程为 1 a 0 b 0 则a2 4 1 3 c2 4 再由
11、a2 b2 c2 得b2 1 故C2的方程为 y2 1 2 若直线l y kx 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B 且 2 其中O为原点 求k的取值范围 解答 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 9 0 由直线l与双曲线C2有两个不同的交点 得 k2 且k2 1 设A x1 y1 B x2 y2 又 2 得x1x2 y1y2 2 解得 k2 3 由 得 k2 1 故k的取值范围为 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时
12、 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 思维升华 跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中 已知双曲线C 1 设过点M 0 1 的直线l与双曲线C交于A B两点 若 则直线l的斜率为 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 代入双曲线方程联立解得 所以A 4 3 B 2 0 或A 4 3 B 2 0 即直线l的斜率为 典例已知双曲线x2 1 过点P 1 1 能否作一条直线l 与双曲线交于A B两点 且点P是线段AB的中点 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错系列10 1 点差法 解决直线与圆锥曲线的交点问题 要考虑变形的条件 2 判别式 0 是判断直线与圆锥
13、曲线是否有公共点的通用方法 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解设点A x1 y1 B x2 y2 在双曲线上 且线段AB的中点为 x0 y0 若直线l的斜率不存在 显然不符合题意 设经过点P的直线l的方程为y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 由题意 得 1 解得k 2 当k 2时 方程 可化为2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 没有实数解 不能作一条直线l与双曲线交于A B两点 且点P 1 1 是线段AB的中点 返回 课时作业 1 2015 福建改编 若双曲线E 1的左 右焦点分别为F1 F2 点P在双
14、曲线E上 且PF1 3 则PF2 由双曲线定义 PF2 PF1 2a PF1 3 P在左支上 a 3 PF2 PF1 6 PF2 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2 2016 全国乙卷改编 已知方程 1表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 答案 解析 方程 1表示双曲线 1 3 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 20
15、16 盐城模拟 已知双曲线 1的左 右焦点分别为F1 F2 过F2的直线与该双曲线的右支交于A B两点 若AB 5 则 ABF1的周长为 答案 解析 由双曲线 1 知a 4 26 由双曲线定义AF1 AF2 BF1 BF2 2a 8 AF1 BF1 AF2 BF2 16 21 ABF1的周长为AF1 BF1 AB 21 5 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 2016 常州模拟 已知双曲线 1 m 0 的一个焦点在圆x2 y2 4x 5 0上 则双曲线的渐近线方程为 由得x2 4x 5 0 解得x 5或x 1 又a 3 故c 5 所以b 4 双曲线的渐近
16、线方程为y 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 已知点F是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点E是该双曲线的右顶点 过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 若 ABE是锐角三角形 则该双曲线的离心率e的取值范围是 答案 解析 由题意易知点F的坐标为 c 0 A c B c E a 0 ABE是锐角三角形 1 2 e e3 3e 3 1 1 e 1 2 整理得3e2 2e e4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2016 浙江 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为F1 F2 若点P在双曲线上 且 F1PF2为锐角三角形 则PF1 PF2的取值范围是 答案 解析 如图 由已知可得a 1 b c 2 从而F1F2 4 由对称性不妨设P在右支上 设PF2 m 则PF1 m 2a m 2 由于 PF1F2为锐角三角形 结合实际意义需满足 解得 1 m 3 又PF1 PF2 2m 2 2m 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 南京三模 设F是双曲线的一个焦点
