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1、3.2.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化知识点一直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用AxByC0(A，B不同时为0)来表示吗？答案能思考2关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定思考3当B0时，方程AxByC0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B0呢？答案当B0时，由AxByC0，得yx，所以该方程表示斜率为，在y轴上截距为的直线；当B0时，A0，由AxByC0，得x，所以该方程表示
2、一条垂直于x轴的直线梳理直线的一般式方程形式AxByC0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理形式方程局限点斜式yy0k(xx0)不能表示斜率不存在的直线斜截式ykxb不能表示斜率不存在的直线两点式x1x2，y1y2截距式1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式AxByC0无类型一直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过点A(1,5)，B(2，1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为3，1.解(1)由直线方程的点斜式得y3(x5)，即x
3、y530.(2)由斜截式得直线方程为y4x2，即4xy20.(3)由两点式得，即2xy30.(4)由截距式得直线方程为1，即x3y30.反思与感悟(1)当A0时，方程可化为xy0，只需求，的值；若B0，则方程化为xy0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(8，6)的直线方程为_；(2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为_；(3)在x轴和y轴上的截距分别是和3的直线方程为_；(4
4、)经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_答案(1)x2y40(2)y20(3)2xy30(4)xy10例2设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直线l在x轴上的截距为3，则m_；(2)若直线l的斜率为1，则m_.答案(1)(2)2解析(1)令y0，则x，3，得m或m3(舍去)m.(2)由直线l化为斜截式方程得yx，则1，得m2或m1(舍去)m2.反思与感悟(1)方程AxByC0表示直线，需满足A，B不同时为0.(2)令x0可得在y轴上的截距令y0可得在x轴上的截距若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式(3)解分式方程注意验根跟踪训练2若方程(a25a6
5、)x(a22a)y10表示一条直线，则实数a满足_答案a2解析由得a2，方程(a25a6)x(a22a)y10表示一条直线，a2.类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例3(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解方法一(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然
6、垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即()()1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.方法二(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.反思与感悟对
7、于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)，A2xB2yC20(A2，B2不同时为0)，则l1l2l1l2A1A2B1B20.跟踪训练3已知直线l1：ax2y30，l2：3x(a1)ya0，求满足下列条件的a的值(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)l1l2，解得a2.(2)a32(a1)0，得a.例4已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解方法一(1)l的方程可化为yx3，l的斜率为.l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，
8、由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0(m12)将(1,3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.反思与感悟一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.这是经常采用的解题技巧跟踪训练4已知点A(2,2)和
9、直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x4yC10，又过点A(2,2)，所以3242C10，所以C114.所求直线方程为3x4y140.(2)将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过点A(2,2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20.1在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A30 B60 C150 D120答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.2若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B20答案D解析方程AxB
10、yC0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.3已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限答案C解析由axbyc，得yx，ab0，bc0，直线在y轴上的截距0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断3已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C，1 D，1答案D解析原方程化为1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的倾斜角为60，ktan 120，a，故选D.4两条直线mxyn0和xmy10互相平行的条件是()Am1 Bm1C. D.或答案D解析令mm11，得m1.当m1时，
