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1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算专题1导数的概念与几何意义(2015河南省洛阳市高考数学一模,导数的概念与几何意义,选择题,理10)曲线y=1x(x0)在点P(x0,y0)处的切线为l.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,则OAB的周长的最小值为()A.4+22B.22C.2D.5+27解析:由y=1x,得y=-1x2,则y|x=x0=-1x02,曲线y=1x(x0)在点P(x0,y0)处的切线方程为y-1x0=-1x02(x-x0).整理,得x+x02y-2x0=0.取y=0,得x=2x0,取x=0,得y=2x0.|AB|=4x02+4x02=2x02+1x02.OAB的周长为|2
2、x0|+2x0+2x02+1x02=2x0+1x0+2x02+1x02(x00)22x01x0+22x01x0=4+22.当且仅当x0=1时上式等号成立.故选A.答案:A(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数的概念与几何意义,填空题,理13)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为.解析:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,对y=x3+ax+b求导,得y=3x2+a,所以y|x=1=3+a=2,解得a=-1,把(1,3)及a=-1代入曲线方程,得1-1+b=3,则b的值为3.答案:3(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数的概念
3、与几何意义,选择题,理9)直线y=12x+b与曲线y=-12x+ln x相切,则b的值为()A.-2B.-1C.-12D.1解析:设切点坐标为(m,n),由题意知曲线在该点切线斜率为y|x=m=-12+1m=12,解得m=1,切点(1,n)在曲线y=-12x+ln x的图象上,n=-12,切点1,-12又在直线y=12x+b上,b=-1.故答案为B.答案:B3.2导数与函数的单调性、极值、最值专题1导数与函数的单调性(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1
4、D.y=lg|x|解析:y=1x在(0,+)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;y=e-x在(0,+)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+)上为减函数,故选C;y=lg|x|在定义域(-,0)(0,+)上是偶函数,但在(0,+)上为增函数,故排除D.答案:C(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理7)函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则()A.a0B.a1C.a2D.a13解析:求导函数可得:f(x)=3ax2-1.函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,f(x)=3ax2-10在R上恒成立.a0.故选A
5、.答案:A(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是()A.y=x+1B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)解析:由于函数y=x+1在(-1,+)上是增函数,故满足条件,由于函数y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=2-x在(0,+)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=log0.5(x+1)在(-1,+)上是减函数,故不满足条件,故选A.答案:A专题2导数与函数的极值(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的极值,选择题,理11)设函数f(
6、x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由函数的图象可知,f(-2)=0,f(2)=0,并且当x0,当-2x1,f(x)0,函数f(x)有极大值f(-2).又当1x2时,f(x)2时,f(x)0,故函数f(x)有极小值f(2).故选D.答案:D专题3导数与函数的最值(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,导数与函数的最值,
7、选择题,理11)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0,若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0解析:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,直线l为曲线在x=0处的切线,当直线介于l和x轴之间符合题意,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,求其导数可得y=2x-2,当x=0时,y=-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a-2,0,故选D.答案:D(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的最值,解
8、答题,理21)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.解:f(x)=ex-ax2-bx-1,g(x)=f(x)=ex-2ax-b,又g(x)=ex-2a,x0,1,1exe,当a12时,则2a1,g(x)=ex-2a0,函数g(x)在区间0,1上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;当12ae2,则12ae,当0xln(2a)时,g(x)=ex-2a0,当ln(2a)0,函数g(x)
9、在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间ln(2a),1上单调递增,g(x)min=gln(2a)=2a-2aln(2a)-b;当ae2时,则2ae,g(x)=ex-2a0,函数g(x)在区间0,1上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,综上:函数g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=1-b,a12,2a-2aln(2a)-b,12ae2,e-2a-b,ae2.(2)由f(1)=0e-a-b-1=0b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当a12或ae2时,函数g(x)在区间0,
10、1上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若12ae2,则g(x)min=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,令t=2a,则h(t)=32t-tln t-e+1(1t0te.h(t)在区间(1,e)上单调递增,在区间(e,e)上单调递减,h(t)max=h(e)=32e-elne-e+1=e-e+10,即g(x)min0,g(1)=-a+10ae-2,a1.又12ae2,所以e-2a1,综上,得e-2a1.3.3导数的综合应用专题2利用导数研究函数的零点或方程的根(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数研究函数的零
11、点或方程的根,选择题,理10)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在a,b上是“关联函数”,区间a,b称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在0,3上是“关联函数”,则m的取值范围为()A.-94,-2B.-1,0C.(-,-2D.-94,+解析:f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在0,3上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在0,3上有两个不同的零点,故有h(0)0,h(3)0,h520,即4-m0,-2-m0,254-
12、252+4-m0,解得-94m-2,故选A.答案:A专题3利用导数解决不等式的有关问题(2015河南省洛阳市高考数学一模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理22)已知函数f(x)=ln(1+x)m-x.(1)若函数f(x)为(0,+)上的单调函数,求实数m的取值范围;(2)求证:(1+sin 1)1+sin1221+sin1321+sin1n2e2.(1)解:f(x)=mln(1+x)-x,f(x)=m1+x-1,函数f(x)为(0,+)上的单调函数,f(x)0恒成立,或f(x)0恒成立,要使f(x)0恒成立,则m1+x,由x(0,+),则m不能满足.要使f(x)0,则m1+x,m1时,
13、可满足f(x)0,f(x)为单调递减函数.综上:m1.(2)证明:由(1)得m=1时,f(x)在(0,+)上是减函数,f(x)f(0),即ln(x+1)0,ln(1+sin 1)sin 1,ln1+sin1n2sin1n2,令g(x)=sin x-x,x0,2,则g(x)=cos x-10,g(x)在0,2上是减函数,g(x)g(0),即sin xx,x0,2,sin 11,sin122122,sin1n21n2,ln(1+sin 1)+ln1+sin122+ln1+sin1n2sin 1+sin122+sin1n21+122+1n21+112+123+1(n-1)n=1+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1n2,即ln(1+sin1)1+sin1221+sin1n22,(1+sin 1)1+sin1221+sin1321+sin1n2e2.(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知f(x)=1+lnxx.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程h(x)=f(x)-x2+2x-k有零点,求实数k的取值范围;(3)当nN*,n2时,求证:nf(n)2+12+13+1n-1.(1)解:f(x)=1+lnxx,f(x)=1xx-(1+lnx)x2=-lnxx2.
