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1、第二章函数2.1函数及其表示专题4分段函数(2015河北石家庄高三质检二,分段函数,选择题,理9)函数f(x)=2x,x0,1),4-2x,x1,2,若f(x0)32,则x0的取值范围是()A.log232,54B.0,log23254,+C.0,log23254,2D.log232,154,2解析:利用分段函数建立不等式组求解.f(x0)320x00,若关于x的方程f(f(x)=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.解析:利用分段函数的解析式求解.由题意可得a0,且由f(f(x)=0只有一个解得f(x)=1有且仅有一个解.当x0时,f(x)=lgx=1,x=10适合,所以x0时,f(x
2、)=ax-1=1无解,即x=a+10,a-1.综上可得,实数a的取值范围是(-1,0)(0,+).答案:(-1,0)(0,+)2.3函数的奇偶性与周期性专题2奇偶性的应用(2015河北保定一模,奇偶性的应用,选择题,理7)已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x2时,f(x)=x2+1,则当x2时,f(x)=x2+1,则当x-2,4-x2,所以f(x)=f(4-x)=(4-x)2+1=x2-8x+17,所以当x2时,f(x)=x2-8x+17,故选D.答案:D(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,奇偶性的应用,选择题,理7)对于函数f(x)=x3cos 3x+6,下列说法正确的是
3、()A.f(x)是奇函数且在-6,6上单调递增B.f(x)是奇函数且在-6,6上单调递减C.f(x)是偶函数且在0,6上单调递增D.f(x)是偶函数且在0,6上单调递减解析:f(x)=-x3sin3x,f(-x)=-(-x)3sin3(-x)=-x3sin3x=f(x),因此函数f(x)是偶函数.当x0,6时,f(x)=-(3x2sin3x+3x3cos3x)0.因此函数f(x)在0,6上是减函数,故选D.答案:D(2015河北石家庄一模,奇偶性的应用,选择题,理5)已知偶函数f(x),当x0,2)时,f(x)=2sin x,当x2,+)时,f(x)=log2x,则f-3+f(4)=()A.-
4、3+2B.1C.3+2D.3解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f-3=f3=2sin3=3,又f(4)=log24=2,则f-3+f(4)=3+2,故选C.答案:C(2015江西赣州高三摸底考试,奇偶性的应用,选择题,理3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x.A.B.C.D.解析:因为f(x)是奇函数,所以y=f(|x|)与y=xf(x)是偶函数,不满足条件.又因为y=f(-x)与y=f(x)+x是奇函数,所以满足条件,故选D.答案:D专题3周期性及其应用(2015河北石家庄高三质检一,周期性及
5、其应用,选择题,理5)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1)时,f(x)=4x2-2,-2x0,x,0x0,0)的图象与两条直线l1:y=m,l2:y=-m(Am0)的两个交点,记S=|xN-xM|,则S(m)图象大致是()解析:利用排除法求解.由题意可得sin(xM+)=sin(-xN-),则结合图象可得(xM+)+(-xN-)=,所以S(m)=|xM-xN|=是一个与m无关的常数函数,故选C.答案:C(2015江西南昌二模,函数图象的辨识,选择题,理11)已知函数f(x)=2ex+1+sin x(e为自然对数的底数),则函数y=f(x)在-3,3上的大致图象是()解析:由题
6、意知f(x)=-2ex(ex+1)2+cosx.因为2ex(ex+1)2=2exe2x+2ex+1=2ex+1ex+212,当且仅当ex=1ex,即x=0时取等号,在-3,3上,12cosx1,所以f(x)=-2ex(ex+1)2+cosx-12+12=0,即f(x)在-3,3上为单调递增函数,故选A.答案:A(2015河北衡水中学二模,函数图象的辨识,选择题,理8)若当xR时,函数f(x)=a|x|始终满足0|f(x)|1,则函数y=loga1x的图象大致为()解析:因为当xR时,函数f(x)=a|x|始终满足0|f(x)|1,所以0a0时,函数y=loga1x=-logax,显然此时函数单
7、调递增,故选B.答案:B专题3函数图象的应用(2015河北衡水中学二模,函数图象的应用,选择题,理12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0x1时,f(x)=x2,当x1时,f(x+1)=f(x)+f(1),若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有7个不同的公共点,则实数k的取值范围为()A.(22-2,26-4)B.(3+2,3+6)C.(22+2,26+4)D.(4,8)解析:由x1时,f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)+1可得当xn,n+1,nN*时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=f(x-n)+n=(x-n)2+n.因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所
8、以其图象关于原点对称,因此要使直线y=kx与函数y=f(x)恰有7个不同的公共点,只需满足当x0时,直线y=kx与函数y=f(x)恰有3个不同的公共点即可.作出x0时函数y=f(x)图象,由图可知,当直线y=kx与曲线段y=(x-1)2+1,x1,2相切时,直线与函数y=f(x)恰有5个不同的公共点,与曲线段y=(x-2)2+2,x2,3相切时,直线与函数y=f(x)恰有9个公共点,若恰有7个,则介于此两者之间,由直线方程y=kx与y=(x-1)2+1,x1,2,消去y得x2-(2+k)x+2=0,因为相切,所以=(2+k)2-8=0,又k0,所以k=22-2.由y=kx与y=(x-2)2+2
9、,x2,3,消去y得x2-(4+k)x+6=0,因为相切,所以=0,得到k=26-4,所以k的取值范围为(22-2,26-4),故选A.答案:A2.8函数与方程专题2函数零点、方程根的个数(2015江西南昌二模,函数零点、方程根的个数,选择题,理9)已知函数f(x)=(-x)12,x0,log5x,x0,函数g(x)是周期为2的偶函数且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是()A.5B.6C.7D.8解析:在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x0时,有4个零点,当x0时,有2个零点,所以一共有6个零点,故选B.答案:B专题
10、3函数零点的综合应用(2015河北石家庄高三质检一,函数零点的综合应用,选择题,理12)设函数f(x)=ex+2x-a(aR,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0),使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是()A.-1+e-1,1+eB.1,1+eC.e,1+eD.1,e解析:由题意得f(x)为R上的增函数,若f(f(b)=b成立,则f(b)=b,否则不妨设f(b)=cb,则f(f(b)=f(c)f(b)=cb也不成立,所以f(b)=b,则问题等价于函数f(x)=ex+2x-a的图象与直线y=x在-1,1上有交点,即存在x-1,1,使得ex+2x-a=x成立,即a=
11、ex+x在-1,1上存在零点.又因为g(x)=ex+x为R上的增函数,所以gmax(x)=g(1)=e+1,gmin(x)=g(-1)=-1+e-1,所以a的取值范围为-1+e-1,1+e,故选A.答案:A(2015江西九校高三联考,函数零点的综合应用,填空题,理16)已知函数f(x)=-x,x-1,0),1f(x-1)-1,x0,1),若方程f(x)-kx-3k=0有两个实数根,则k的取值范围是.解析:依题意,当x0,1)时,x-1-1,0),f(x-1)=-(x-1),f(x)=1f(x-1)-1=-1x-1-1.在坐标平面内画出函数y=f(x)与直线y=k(x+3)(该直线过点(-3,0),斜率为k)的大致图象,结合图象(图略)可知,要使该直线与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,相应的斜率k的取值范围是0,12.答案:0,12
