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1、4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离为ddr代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式001，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线
2、方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在，则由图
3、形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_答案x2y50解析点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2y25，所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5，即x2y50.例3过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_答案(x3
4、)2y22解析由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22.反思与感悟此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22
5、答案B解析设圆心为C(a，a)，则，解得a1，所以r，圆C的方程为(x1)2(y1)22.故选B.类型三弦长问题例4(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_答案(1)(2)(x2)2(y1)24解析(1)方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得A(，)，B(，)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.|AB|.方法
6、三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22 .(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2，即半弦长为，r2224，得r2，所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程解方法一若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设其方程为y5k(x5)，即kxy5(1k)0.如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在
7、RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42.|OH|，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.方法二若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点由消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0，10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0.又x1x2，x1x2，由斜率公式， 得y1y2k(x1x2)|AB|4，两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2，均符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1
8、)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在) (3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练4已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(
9、x1)，直线l经过定点(1,2)，(1)2228，(1,2)在圆C内，直线l与圆相交(2)解由(1)知，直线l过定点P(1,2)，又圆C：x2y28的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短kOP2，kl，直线l：y2(x1)，即x2y50.设直线l与圆交于A、B两点，|AB|222.直线l的方程为x2y50，弦长为2.1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案B解析圆心到直线的距离为d1，又直线yx1不过圆心(0,0)，故选B.2直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12答案D解
10、析圆的方程为x2y22x2y10，可化为(x1)2(y1)21，由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1，得b2或12，故选D.3圆x2y216上的点到直线xy3的距离的最大值为()A. B4C.4 D0答案C解析圆心(0,0)到直线xy3的距离为，则该圆到直线xy3的距离的最大值为4.4圆x2y24截直线xy20所得的弦长为()A2 B1 C. D2答案A解析圆心(0,0)到直线xy20的距离为，则弦长为22.5直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且|MN|2，则k的取值范围是_答案(，0解析因为|MN|2，所以圆心(1,2)到直线ykx3的距离不大于1，即1，解得k
11、0.1直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单2过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在3与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法课时作业
