《高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 2 1合情推理与演绎推理 2 1 1合情推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一归纳推理 问题导学新知探究点点落实 答案 思考 1 铜 铁 铝 金 银等金属都能导电 猜想 一切金属都能导电 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 以上属于什么推理 答属于归纳推理 符合归纳推理的定义特征 即由部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 答案 1 定义 由某类事物的具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由概括出 的推理 称为归纳推理
2、2 特征 由到 由到 部分对象 全部对象 个别事实 一般 结论 部分 整体 个别 一般 思考科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 1 火星也是绕太阳公转 绕轴自转的行星 2 有大气层 在一年中也有季节更替 3 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等 由此 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 他们使用了什么样的推理 知识点二类比推理 答类比推理 1 定义 由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些 特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 2 特征 由到的推理 类似 已知 特殊 特殊 答案 思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系 知识点三合情推理 答区别
3、 归纳推理是由特殊到一般的推理 而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理 联系 在前提为真时 归纳推理与类比推理的结论都可真可假 思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗 答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然性的 结论不一定正确 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定正确 答案 1 定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过 再进行 然后提出的推理 我们把它们称为合情推理 简言之 合情推理就是合乎情理的推理 2 推理的过程 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 答案 返回
4、题型探究重点难点个个击破 类型一数 式中的归纳推理 解析答案 例1 1 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 解析从给出的规律可看出 左边的连乘式中 连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致 其中左边连乘式中第二个加数从1开始 逐项加1递增 右边连乘式中从第二个乘数开始 组成以1为首项 2为公差的等差数列 项数与第几等式保持一致 则照此规律 第n个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 2 已知 f
5、 x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 且n N 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n N 的表达式为 反思与感悟 解析答案 又 fn x fn 1 fn 1 x 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 1 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 2 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形成的特征 3 提炼出等式 或不等式 的综合特点 4 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理 在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 1 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 2 根据数列
6、中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 3 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1从1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 中 你能总结出什么结论 解第一个式子 左边一个数是1 右边结果是12 第二个式子 左边三个数相加 从2开始 右边结果是32 第三个式子 左边五个数相加 从3开始 右边结果是52 第四个式子 左边七个数相加 从4开始 右边结果是72 第n个式子 左边2n 1个数相加 从n开始 右边结果是 2n 1 2 总结结论 n n 1 n 2 n 2n 2 2n 1 2 n N 即n n 1
7、 n 2 3n 2 2n 1 2 n N 类型二几何图形中的归纳推理 解析答案 例2根据如图所示的5个图形及相应圆圈的个数的变化规律 试猜测第n个图形中有多少个圆圈 反思与感悟 解析答案 解方法一图 1 中的圆圈个数为12 0 图 2 中的圆圈个数为22 1 图 3 中的圆圈个数为32 2 图 4 中的圆圈个数为42 3 图 5 中的圆圈个数为52 4 故猜测第n个图形中的圆圈个数为n2 n 1 n2 n 1 方法二第 2 个图形 中间有一个圆圈 另外的圆圈指向两个方向 共有 1 1 2 1个圆圈 反思与感悟 第 3 个图形 中间有一个圆圈 另外的圆圈指向三个方向 每个方向有2个圆圈 共有 2
8、 1 2 2个圆圈 第 4 个图形 中间有一个圆圈 另外的圆圈指向四个方向 每个方向有3个圆圈 共有 3 1 2 3个圆圈 第 5 个图形 中间有一个圆圈 另外的圆圈指向五个方向 每个方向有4个圆圈 共有 4 1 2 4个圆圈 由上述的变化规律可猜测第n个图形中间有一个圆圈 另外的圆圈指向n个方向 每个方向都有 n 1 个圆圈 共有 n 1 1 2 n 1 n2 n 1 个圆圈 反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样的变化 反思与感悟 解析答案 跟踪训练
9、2黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第n个图案中有黑色地面砖的块数是 解析观察图案知 从第一个图案起 每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6 公差为5的等差数列 从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6 n 1 5 5n 1 5n 1 例3 1 在公比为4的等比数列 bn 中 若Tn是数列 bn 的前n项积 则有 也成等比数列 且公比为4100 类比上述结论 相应地 在公差为3的等差数列 an 中 若Sn是 an 的前n项和 可类比得到的结论是 解析答案 类型三类比推理 解析因为等差数列 an 的公差d 3 所以 S30 S20 S20 S10 a21 a22 a30 a1
10、1 a12 a20 100d 300 同理可得 S40 S30 S30 S20 300 所以数列S20 S10 S30 S20 S40 S30是等差数列 且公差为300 即结论为数列S20 S10 S30 S20 S40 S30也是等差数列 且公差为300 答案数列S20 S10 S30 S20 S40 S30也是等差数列 且公差为300 2 如图 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示三条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 解析答案 反思与感悟 解如题图 在Rt ABC中 C 90 设a b c分别表示3条边的长度
11、 由勾股定理 得c2 a2 b2 类似地 如图所示 在四面体P DEF中 PDF PDE EDF 90 设S1 S2 S3和S分别表示 PDF PDE EDF和 PEF的面积 相应于直角三角形的两条直角边a b和1条斜边c 图中的四面体有3个 直角面 S1 S2 S3和1个 斜面 S 于是类比勾股定理的结构 我们猜想 反思与感悟 1 类比推理的一般步骤 反思与感悟 反思与感悟 2 中学阶段常见的类比知识点 等差数列与等比数列 向量 复数与实数 空间与平面 圆与球等等 比如平面几何的相关结论类比到立体几何相关类比点如下 跟踪训练3 1 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式a1 a2 an
12、 a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 解析答案 类型三类比推理 解析这是由一类事物 等差数列 到与其相似的另一类事物 等比数列 间的类比 在等差数列 an 的前19项中 其中间项a10 0 则a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 a1 a2 an a19 0 即a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 相似地 在等比数列 bn 的前17项中 b9
13、 1为其中间项 则可得b1 b2 bn b1 b2 b17 n n 17 n N 故填b1 b2 bn b1 b2 b17 n n 17 n N 答案b1 b2 bn b1 b2 b17 n n 17 n N 2 在长方形ABCD中 对角线AC与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想 解析答案 返回 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 证明如下 返回 解析答案 达标检测 1 2 3 4 1 下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 那么第36颗珠子应是什么颜色 A 白色B 黑色C 白
14、色可能性大D 黑色可能性大 解析由图知 三白二黑周而复始相继排列 36 5 7余1 第36颗珠子的颜色为白色 A 5 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 解析答案 3 将全体正整数排成一个三角形数阵 123456789101112131415 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 5 1 2 3 4 解析前n 1行共有正整数1 2 n 1 个 5 1 2 3 4 解析答案 4 如图所示 由若干个点组成形如三角形的图形 每条边 包括两个端点 有n n 1 n N 个点 每个图形总的点数记为an 则a6 an n 1 n N 5 1 2 3 4 解析n 2时 a2 3 2
15、 1 3 n 3时 a3 3 3 1 6 n 4时 a4 3 4 1 9 n 5时 a5 3 5 1 12 a6 3 6 1 15 故an 3 n 1 3n 3 n 1 n N 答案153n 3 5 1 2 3 4 5 5 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析设两正四面体体积分别为V1 V2 1 8 解析答案 1 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 数学研究中 在得到一个新结论前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 合情推理的过程概括为 规律与方法 返回
