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1、新高考高考数学（理科）总复习汇编1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验对方向1.(2018全国6)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.B.C.D.答案A解析 如图,=-=-)=)=.2.(2017全国12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则+的最大值为()A.3B.2C.D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=,即圆的方程是(x-2)2+y2=.易知=(x,y-1),=(0,-1)
2、,=(2,0).由=+,得所以=,=1-y,所以+=x-y+1.设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离dr,即,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.3.(2015全国7)设D为ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-B.C.D.答案A解析如图:=3,)=-.4.(2015全国13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案解析由题意知存在常数tR,使a+b=t(a+2b),得解之得=.新题演练提能刷高分1.(2018重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m
3、=4a+5b与n=2a+b共线,则实数的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b与n=2a+b共线,存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.解得故选C.2.(2018山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量=()A.a+bB.-a-bC.-a+bD.a-b答案C解析)=(b-a)=-a+b,故选C.3.(2018安徽安庆二模)在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得=+,则+=()A.B.-C.2D.-2答案B解析因为点D在边BC
4、上,所以存在tR,使得=t=t().因为M是线段AD的中点,所以)=(-+t-t)=-(t+1),又=+,所以=-(t+1),=t,所以+=-.故选B.4.(2018安徽淮南一模)已知G是ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x=y(x,y0),则3x+y的最小值是()A.B.C.D.答案D解析如图,M,N,G三点共线,=,=().G是ABC的重心,),)-x=y),解得(3x-1)(3y-1)=1,结合图象可知x1,y1,令3x-1=m,3y-1=nm2,n2,故mn=1,x=,y=,故3x+y=1+m+m+2,当且仅当m=,n=时等号成立,故选D.5.(2018山东菏
5、泽一模)已知在ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,=m+n,则m+n=.答案-解析如图所示,=)=)-=-.又=m+n,所以m+n=-,所以m+n-=0.又因为不共线,所以m=-,n=,所以m+n=-.6.(2018四川“联测促改”)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=(1-t)+t.试利用该定理解答下列问题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=.答案解析B,M,F三点共线,存在实数t,使得=(1-t)+t,又=2,=2(
6、1-t),又E,M,C三点共线,2(1-t)+t=1,解得t=.=2(1-t)+t,x=,y=,x+y=.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验对方向1.(2016全国3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D解析由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选D.2.(2016全国3)已知向量,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A解析由题意得cosABC=,所以ABC=30,故选A.3.(2018全国13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(
7、1,).若c(2a+b),则=.答案解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=.4.(2016全国13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.新题演练提能刷高分1.(2018东北三省三校二模)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),则t=()A.0B.C.-2D.-3答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)(2a+tb),
8、所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故选C.2.(2018广东汕头期末)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若bc,则实数t=()A.1B.-1C.D.2答案A解析由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),bc,bc=(-1,1)(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选A.3.(2018福建福州期末)已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()A.B.3C.D.答案B解析a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b=(3,3),|c|=3,故选B.4.(2018贵州凯里二模)已知
9、a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,则=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),解得=-,=,=-3.5.(2018百校联盟全国联考)向量=(1,2),且|=2,则的坐标为.答案(3,6)或(-1,-2)解析,=t=(t,2t).又|=2,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.当t=2时,=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,=(1,2)+(2,4)=(3,6).命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验对方向1.(2018全国4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=(
10、)A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2018全国8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=()A.5B.6C.7D.8答案D解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得解得不妨设M(1,2),N(4,4),所以=(0,2),=(3,4),所以=8.3.(2017全国12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则()的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1答案B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,
11、D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以=(-2x,-2y).所以()=2x2-2y(-y)=2x2+2-.当点P的坐标为时,()取得最小值为-,故选B.4.(2016天津7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()A.-B.C.D.答案B解析设=a,=b,则(b-a),(b-a),=-a+(b-a)=-a+b.故=-ab+b2=-,应选B.5.(2017天津13)在ABC中,A=60,AB
12、=3,AC=2.若=2=(R),且=-4,则的值为.答案解析=2,)=.又=,A=60,AB=3,AC=2,=-4.=32=3,()=-4,即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得=.新题演练提能刷高分1.(2018河北石家庄一模)点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圆的性质知ABC=90,所以cosBAC=,所以=|cosBAC=|=4,故选D.2.(2018山东烟台期末)在ABC中,已知|=|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点,则=()A.B.C.D.答案B解析|=|,BAC=90.又M,N分别为BC的三等分
13、点,=0+13+3-.故选B.3.(2018安徽马鞍山质监)如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,E,F分别为BC,CD的中点,则=()A.B.-C.D.-答案D解析在菱形ABCD中边长为2,BAD=60,=22cos 60=2,又),=()=4+2-4=-,故选D.4.(2018陕西西安八校第一次联考)在ABC中,已知,|=3,|=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则的值是()A.B.C.6D.7答案B解析,|=3,|=3,=|cos A=33cos A=,cos A=.A(0,),A=,ABC是等边三角形,即|=3.M、N分别是BC边上的三等分点,=,=33cos 60=33cos 120=-=33cos 60=,=-+-1=,故选B.5.(2018河北唐山一模)在ABC中,C=90,|AB|=6,点P满足|CP|=2,则的最大值为()A.9B.1
