《高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课课件 新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课课件 新人教A版选修2-2（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题导学 题型探究 达标检测 第一章导数及其应用 章末复习课 知识点一导数的概念 问题导学新知探究点点落实 答案 1 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 称为函数y f x 在x x0处的导数 2 几何意义 函数y f x 在x x0处的导数是函数图象在点 x0 f x0 处的切线的斜率 表示为f x0 其切线方程为 y f x0 f x0 x x0 1 c 0 2 x 3 ax a 0 4 ex 知识点二基本初等函数的导数公式 6 lnx 7 sinx 8 cosx x 1 axlna ex cosx sinx 答案 知识点三导数的运算法则 1 f x g x 2 f x g x
2、 f x g x f x g x f x g x 知识点四复合函数的求导法则 1 复合函数记法 y f g x 2 中间变量代换 y f u u g x 3 逐层求导法则 y x y u u x 答案 知识点五函数的单调性 极值与导数 1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数的极值与导数 极大值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极大值点 f a 叫做函数的极大值 极小值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函
3、数的极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 答案 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个就是 最小的一个就是 极值 端点 最大值 最小值 答案 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且F x f x 那么 答案 返回 知识点六微积分基本定理 F b F a 知识点七定积分的性质 题型探究重点难点个个击破 类型一导数的概念与几何意义 解析答案 例1 1 若曲线f x kx lnx在点 1 k 处的切线平行于x轴 则k 解析f 1
4、k 1 0 k 1 1 解f x x2 2ax 9 x a 2 a2 9 f x min a2 9 由题意知 a2 9 10 a 1或 1 舍去 故a 1 2 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 直线l是曲线y f x 的一条切线 当l的斜率最小时 直线l与直线10 x y 6平行 求a的值 解析答案 解析答案 求f x 在x 3处的切线方程 解由 得a 1 f x x2 2x 9 则k f 3 6 f 3 10 f x 在x 3处的切线方程为y 10 6 x 3 即6x y 28 0 反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点 若切点未知需设出 常见的类型有两种 一类是求 在某
5、点处的切线方程 则此点一定为切点 易求斜率进而写出直线方程即可得 另一类是求 过某点的切线方程 这种类型中的点不一定是切点 可先设切点为Q x1 y1 由 f x1 和y1 f x1 求出x1 y1的值 转化为第一种类型 反思与感悟 跟踪训练1直线y kx b与曲线y x3 ax 1相切于点 2 3 则b 解析答案 解析由题意知f 2 3 则a 3 f x x3 3x 1 f 2 3 22 3 9 k 又点 2 3 在直线y 9x b上 b 3 9 2 15 15 类型二函数的单调性 极值 最值问题 解析答案 例2设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值
6、 解由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a
7、 ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 反思与感悟 解析答案 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 求函数的极值和证明不等式 考查运算能力 分析问题 解决问题的能力 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解析答案 解析答案 f x 在 1 4 上的最小值为f 1 由f 1 4 4a a2 8 解析答案 由f 4 2 64 16a a2
8、 8得a 10或a 6 舍去 当a 10时 f x 在 1 4 上单调递减 f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8 符合题意 综上有a 10 类型三生活中的优化问题 例3某公司为获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司获得的收益最大 解设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以当t 2时 f t 取得最大值4 即投入2百万元的广告费时
9、该公司获得的收益最大 解析答案 2 现该公司准备共投入3百万元 分别用于广告促销和技术改造 经预测 每投入技术改造费x 百万元 可增加的销售额为 x3 x2 3x 百万元 请设计一个资金分配方案 使该公司由此获得的收益最大 解析答案 反思与感悟 解设用于技术改造的资金为x 百万元 则用于广告促销的资金为 3 x 百万元 所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 又当0 x0 当2 x 3时 g x 0 由此获得的收益是g x 百万元 解析答案 反思与感悟 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取得最大值 即将2百万元用于技术改造
10、 1百万元用于广告促销 可使该公司由此获得的收益最大 反思与感悟 解决优化问题的步骤 1 要分析问题中各个数量之间的关系 建立适当的函数模型 并确定函数的定义域 2 要通过研究相应函数的性质 如单调性 极值与最值 提出优化方案 使问题得以解决 在这个过程中 导数是一个有力的工具 3 验证数学问题的解是否满足实际意义 反思与感悟 跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r
11、的函数V r 并求该函数的定义域 解析答案 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意得200 rh 160 r2 12000 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 令V r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 V r 0 故V r 在 0 5 上为增函数 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 解析答案 类型四定积分与微积分基本定理 解析答案 2 如图 是
12、由直线y x 2 曲线y2 x所围成的图形 试求其面积S 解析答案 反思与感悟 故A 1 1 B 4 2 如图所示 反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 1 画出函数的图象 明确平面图形的形状 2 通过解方程组 求出曲线交点的坐标 3 确定积分区间与被积函数 转化为定积分计算 4 对于复杂的平面图形 常常通过 割补法 来求各部分的面积之和 反思与感悟 跟踪训练4求由抛物线y x2 1 直线x 2 y 0所围成的图形的面积 解析答案 返回 解作出草图如图所示 所求图形的面积为图中阴影部分的面积 由x2 1 0得抛物线与x轴的交点坐标是 1 0 和 1 0 因此所求图形的面积为 返回 达标
13、检测 1 2 3 4 1 已知函数f x ax2 2ln 2 x a R 设曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线为l 若l与圆C x2 y2 相切 则a 解析答案 l的方程为2 a 1 x y 2 a 0 解析答案 1 2 3 4 2 体积为16 的圆柱 它的半径为 时 圆柱的表面积最小 解析设圆柱底面半径为r 母线长为l 当r 2时 圆柱表面积为最小 2 1 2 3 4 解析答案 3 设两抛物线y x2 2x y x2所围成的图形为M 求M的面积 解函数y x2 2x y x2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示 由图可知 图形M的面积 1 2 3 4 解析答案 4 已知函数f x x
14、 alnx a R 1 当a 2时 求曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 1 2 3 4 解析答案 2 求函数f x 的极值 1 2 3 4 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 1 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y y0 f x0 x x0 明确 过点P x0 y0 的曲线y f x 的切线方程 与 在点P x0 y0 处的曲线y f x 的切线方程 的异同点 2 借助导数研究函数的单调性 经常同三次函数 一元二次不等式结合 融分类讨论 数形结合于一体 3 利用导数求解优化问题 注意自变量中的定义域 找出函数关系式 转化为求最值问题 4 不规则图形的面积可用定积分求 关键是确定积分上 下限及被积函数 积分的上 下限一般是两曲线交点的横坐标 规律与方法 返回
