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1、专题08 圆锥曲线中的最值的问题一、题型选讲题型一 与线段有关的最值问题与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。例1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：1(ab0)的离心率为，右准线方程为x4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.(1) 求椭圆M的方程；(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC长的取值范围 例2、（2016南京、盐城一模）如图，在平面
2、直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2) 若r.求证：k1k2；求OPOQ的最大值题型二 与面积有关的最值问题与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式求解。然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。例3、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交
3、x轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 PCD 面积的最大值题型三 与向量有关的最值问题与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。例4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围题型四 与坐标或参数有关的最值问题与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目
4、标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。例5、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围例6、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的
5、横坐标为1，求点P的坐标；(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围二、达标训练1、(2018无锡期末） 已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_2、(2017镇江期末）已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值3、(2017苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)
6、求椭圆C的标准方程；(2) 设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.当直线PA的斜率为时，求FMN的外接圆的方程；设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值 4、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q.(1) 若直线l的斜率为，求的值；(2) 若，求实数的取值范围5、(2016苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，在y轴上截距为3的直线l与AF平行且与圆C2相切(1) 求椭圆C1的离心率；(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求的最大值6、(2016苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3) 若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值
