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1、专题20 常见数列的求和问题1、 例题选讲题型一 公式法若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：等差数列的前n项和公式：Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.例1、(2019通州、海门、启东期末）设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24，则它的前5项和S5_【答案】62【解析】设公比为q，因为a12，a3a24，所以2q22q4，解得q2或q1，因为an为正项数列，所以q2，所以S562.例2、(2019镇江期末） 设Sn是等比数列an的前n项的和，若，则_【答案】 【解析】设等比数列an的公比为q，则q3.易得S6S3(1q3)，所
2、以1q31.例3、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列的前n项和为，若，则 【答案】【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，故由于，故题型二、分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，或者常数列等特色数列。再分布求和。.例4、数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于_【答案】n21.【解析】Sn135(2n1)n2n21.例5、数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17_.【答案】9【解析】S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.题型三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正
3、负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式：(1)；(2)；(3).例6、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调） 设数列满足a11，(1an1)(1an)1(nN*)，则(akak1)的值为_【答案】【解析】因为(1an1)(1an)1，所以anan1anan10，从而1，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1n1n，所以an，故an1an，因此 (akak1)1.题型四、错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。特别注意错位相减法的步骤。例7、(2016南京调研）已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a
4、1b12，a4b421，S4b430.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和规范解答 (1) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.(3分)由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN*.(7分)(2) 由题意知cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1(n1)2n，2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1，(11分)即Tnn2n1，nN*.(14分)二、达标训练1、
5、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知是等比数列，前项和为若，则的值为 【答案】14【解析】(基本量法) 设数列的首项是，公比为，则由，得解得 ，.2、(2018南京学情调研）.记等差数列an的前n项和为Sn.若am10，S2m1110，则m的值为_【答案】6【解析】由S2m1(2m1)a1(m1)d(2m1)(2m1)am得，11010(2m1)，解得m6.3、(2018苏州暑假测试）等差数列an的前n项和为Sn，且anSnn216n15(n2，nN*)，若对任意nN*，总有SnSk，则k的值是_【答案】 7【解析】解法1(特殊值法) 在式子“anSnn216n15(n2，nN*)”中分别
6、令n2，3得，a113，a211.又因为an是等差数列，所以公差d2，an13(n1)(2)152n0，解得n7.5，故前7项和最大，所以k7.解法2(公式法) 在等差数列an中，设公差为d，因为式子“anSna1(n1)dn216n15(n2，nN*)”的二次项系数为1，所以1，即公差d2，令n2得，a113，所以前n项和Sn13n(2)14nn249(n7)2，故前7项和最大，所以k7.4、(2018苏州暑假测试）已知数列an满足an1an4n3(nN*)(1) 若数列an是等差数列，求a1的值；(2) 当a12时，求数列an的前n项和Sn；规范解答 (1) 若数列an是等差数列，则ana
7、1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，(2分)即2d4，2a1d3，解得d2，a1.(3分)(2) 由an1an4n3(nN*)，得an2an14n1(nN*)两式相减，得an2an4.(5分)所以数列a2n1是首项为a1，公差为4的等差数列数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2a11，a12，得a21，所以an(6分)当n为奇数时，an2n，an12n3.Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an2an1)an19(4n11)2n2n；(8分)当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n
8、7).(10分)5、(2018扬州期末）且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn满足cn，求和c1c2cn；规范解答 (1) 2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aaan1an，即(an1an)(an1an1)0.因为an是正数数列，所以an1an10，即an1an1，所以an是等差数列，其中公差为1.在2Snaan中，令n1，得a11，所以ann.(2分)由2bn1bn得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即bn.(5分)(注：也可累乘求bn的通项)(2) 由(1)得cn，所以cn，(7分)所以c1c2cn.(9
9、分)6、（2019山东师大附中二模）已知数列是公差不为的等差数列，且，成等比数列()求数列的通项公式；()设，求数列的前项和(1)设数列的公差为,由和成等比数列,得 , 解得,或当时,与成等比数列矛盾,舍去., 即数列的通项公式 (2)= 7、等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解析：(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1，得Snn(n2)，则cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)8、设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解析：(1)由题意得即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.
