《2018届高三数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 文（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文数课标版 第二节等差数列及其前n项和 1 等差数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差 通常用字母 d表示 定义的表达式为an 1 an d n N 教材研读 2 等差数列的通项公式等差数列 an 的通项公式是 an a1 n 1 d 3 等差中项如果 A 那么A叫做a与b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m N 2 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n N 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是
2、等差数列 公差为 2d 4 若 an bn 项数相同 是等差数列 则 pan qbn p q是常数 仍是等差数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m N 组成公差为 md的等差数列 5 等差数列的前n项和公式等差数列 an 的前n项和Sn 或Sn na1 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn n2 n 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B为常数 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 若a1 0 d0 则Sn存在最小值 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列
3、2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 5 若数列 an bn 项数相同 都是等差数列 则数列 an bn 也一定是等差数列 6 等差数列 an 的首项为a1 公差为d 取出数列中的所有奇数项 组成一个新的数列 则此新数列一定是等差数列 1 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 A 1B 0C 1D 6答案B设数列 an 的公差为d 由a4 a2 2d a2 4 a4 2 得2 4 2d d 1
4、a6 a4 2d 0 故选B 2 2015东北师大附中摸底考试 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 A 1B 2C 3D 4答案B设公差为d a1 a5 2a3 10 a3 5 又 a4 7 d 2 故选B 3 2016广东惠州调研 等差数列 an 的前n项和为Sn 且S3 6 a1 4 则公差d等于 A 1B C 2D 3答案C S3 6 a1 a3 且a3 a1 2d a1 4 d 2 故选C 4 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 A a1 a101 0B a2 a100 0C a3 a99 0D a1 51答案C S101
5、0 S101 0 a1 a101 a2 a100 a3 a99 0 故选C 5 已知等差数列 an 中 a5 a9 a7 10 记Sn a1 a2 an 则S13的值为 答案130解析由a5 a9 a7 10可得2a7 a7 a7 10 由等差数列前n项和公式可得S13 13a7 130 考点一等差数列的基本运算典例1 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a1 2 S3 12 则a6等于 A 8B 10C 12D 14 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m A 3B 4C 5D 6答案 1 C 2 C解析 1 S3 3a2 12 a2 4
6、考点突破 a1 2 d a2 a1 4 2 2 a6 a1 5d 12 故选C 2 解法一 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 公差d am 1 am 1 由Sn na1 d na1 得由 得a1 代入 可得m 5 解法二 数列 an 为等差数列 且前n项和为Sn 数列也为等差数列 即 0 解得m 5 经检验为原方程的解 故选C 方法指导 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用 a1和d是
7、等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用解题方法 1 1设Sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 1 公差d 2 Sn 2 Sn 36 则n A 5B 6C 7D 8答案D解法一 由题意知Sn na1 d n n n 1 n2 则Sn 2 n 2 2 因为Sn 2 Sn 36 所以 n 2 2 n2 4n 4 36 所以n 8 解法二 由Sn 2 Sn an 1 an 2 2a1 2n 1 d 2 2 2n 1 36 解得n 8 所以选D 1 3已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和Sk 35 求k的值 解析 1 设等差
8、数列 an 的公差为d 因为a1 1 a3 3 所以1 2d 3 解得d 2 则an 1 n 1 2 3 2n n N 考点二等差数列的性质及其应用典例2 1 在等差数列 an 中 a3 a9 27 a6 Sn表示数列 an 的前n项和 则S11 A 18B 99C 198D 297 2 已知等差数列 an 的公差为2 项数是偶数 奇数项之和为15 偶数项之和为25 则这个数列的项数为 A 10B 20C 30D 40 3 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 答案 1 B 2 A 3 60解析 1 因为a3 a9 27 a6 2a6 a3 a9 所以3a6
9、27 所以a6 9 所以S11 a1 a11 11a6 99 2 设这个数列有2n项 由等差数列的性质可知 偶数项之和减去奇数项之和等于nd 即25 15 2n 故2n 10 即数列的项数为10 3 由Sm S2m Sm S3m S2m成等差数列 可得2 S2m Sm Sm S3m S2m 即S2m 60 易错警示一般地 运用等差数列的性质可以化繁为简 优化解题过程 但要注意性质运用的条件 如m n p q m n p q N 则am an ap aq 该性质的运用条件是序号之和相等 2 1已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 答案21解析因为 a
10、n bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 2 2已知 an 为等差数列 若a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a19 a20 a21 答案20解析由等差数列的性质 可知S3 S6 S3 S9 S6 S21 S18成等差数列 设此数列的公差为D 所以5 2D 10 所以D 所以a19 a20 a21 S21 S18 5 6D 5 15 20 考点三等差数列的判定与证明典例3若数列 an 的前n项和为Sn 且满足an 2SnSn 1 0 n 2 a1 1 求证 是
11、等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 证明 当n 2时 由an 2SnSn 1 0 得Sn Sn 1 2SnSn 1 又易知Sn 0 所以 2 又 2 故是首项为2 公差为2的等差数列 2 由 1 可得 2n Sn 当n 2时 an Sn Sn 1 当n 1时 a1 不适合上式 故an 方法指导证明一个数列为等差数列的基本方法有两种 一是定义法 证明an an 1 d n 2 d为常数 二是等差中项法 证明2an 1 an an 2 若证明一个数列不是等差数列 则可以举反例 也可以用反证法 3 1已知数列 an 中 a1 2 an 2 n 2 n N 设bn n N 求证 数列 b
12、n 是等差数列 证明 an 2 an 1 2 bn 1 bn 1 bn 是首项为b1 1 公差为1的等差数列 考点四等差数列的前n项和及其最值典例4在等差数列 an 中 a1 29 S10 S20 则数列 an 的前n项和中最大的为 A S15B S16C S15和S16D S17答案A解析 S10 S20 10a1 d 20a1 d 又a1 29 d 2 Sn 29n 2 n2 30n n 15 2 225 当n 15时 Sn取得最大值 方法指导处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数且A
13、0 看作二次函数 根据二次函数的性质求解 变式4 1若将本例中的条件 a1 29 S10 S20 改为 a1 0 S5 S12 如何求解 解析解法一 由S5 S12得5a1 10d 12a1 66d 即d a1 0 所以Sn na1 d na1 a1 n2 17n a1 a1 因为a1 0 n N 所以当n 8或n 9时 Sn取得最大值 解法二 同解法一得d a1 0 设此数列的前k项和最大 则即解得即8 k 9 又k N 所以k 8或9 所以当n 8或n 9时 Sn取得最大值 解法三 同解法一得d a1 0 由于Sn na1 d n2 n 设f x x2 x 则函数y f x 的图象为开口向下的抛物线 由S5 S12知 抛物线的对称轴为x 易知当1 n 8时 Sn单调递增 当n 9时 Sn单调递减 且S8 S9 所以当n 8或n 9时 Sn取得最大值 变式4 2若将本例中的条件 a1 29 S10 S20 改为 a3 12 S12 0 S13 0 如何求解 解析因为a3 a1 2d 12 所以a1 12 2d 因为所以解得 0 因此S6最大 解法二 由d 0可知 an 是递减数列 令可得由 d 3 可得所以5 5 n 7 故n 6 由此可知S6最大
