《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 文（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文数课标版 第三节导数与函数的极值与最值 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 f x 0 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 教材研读 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极大值和 极小值统称为极值 2 函数的最值与导数 1
2、 函数f x 在 a b 上有最值的条件 一般地 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 i 求函数y f x 在 a b 内的 极值 ii 将函数y f x 的各极值与 端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点B 有三个极大值点 一个极小值点C 有两个极大值点 两个极小值点D 有四个极大值点 无极小值点 答案C设f x 的图象与x轴的4个
3、交点的横坐标从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 故选C 2 函数y xex的最小值是 A 1B eC D 不存在答案C y xex y ex xex 1 x ex 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当x 1时函数取得最小值 且ymin 故选C 3 函数f x x alnx a 0 的极小值为 答案a alna解析 f x x alnx a 0 f x 的定义域为 0 f x 1 a 0 由f x 0 解得x a 当x 0 a 时 f
4、x 0 函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 考点一运用导数研究函数的极值典例1 2016广西桂林 崇左联考 设a 0 函数f x x2 a 1 x alnx 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处切线的斜率 2 求函数f x 的极值 解析 1 f x 的定义域为 0 当a 2时 f x x 3 曲线y f x 在点 3 f 3 处切线的斜率为f 3 2 f x x a 1 由f x 0得x 1或x a 若00 函数f x 单调递增 考点突破 当x a 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x a时 f x 取极大值f a a2 a alna
5、当x 1时 f x 取极小值f 1 a 若a 1 当x 0 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 1 a 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 1时 f x 取极大值f 1 a 当x a时 f x 取极小值f a a2 a alna 若a 1 当x 0时 f x 0 函数f x 单调递增 没有极值点 综上 当01时 f x 的极大值为 a 极小值为 a2 a alna 当a 1时 f x 没有极值 方法技巧运用导数求可导函数y f x 极值的步骤 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f
6、 x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 则此根处不是极值点 1 1若函数f x x3 2cx2 x有极值点 则实数c的取值范围为 A B C D 答案D若函数f x x3 2cx2 x有极值点 则f x 3x2 4cx 1 0有两个不相等的实根 故 4c 2 12 0 从而c 或c 1 2 2016黑龙江哈三中期末 已知x 2是函数f x x3 3ax 2的极小值点 那么函数f x 的极大值为 A 15B 16C 17D 18 答案Dx 2是函数f x x3 3ax 2的极小值点 即x 2是f x 3x2 3a 0的根 将x 2代入得a 4
7、 所以函数解析式为f x x3 12x 2 则由3x2 12 0 得x 2 故函数在 2 2 上是减函数 在 2 2 上是增函数 由此可知当x 2时函数f x 取得极大值f 2 18 考点二运用导数研究函数的最值典例2 2016甘肃兰州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解析 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上
8、的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 方法技巧求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1函数f x lnx x在区间 0 e 上的最大值为
9、A 1 eB 1C eD 0 答案B因为f x 1 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 e 时 f x 0 所以f x 的单调递增区间是 0 1 单调递减区间是 1 e 所以当x 1时 f x 取得最大值ln1 1 1 2 2 2015课标全国 21 12分 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 若a 0 则当x 时 f x 0 当x 时 f x 0 所以f x 在上单调递增 在上单调递减 2 由 1
10、知 当a 0时 f x 在 0 上无最大值 当a 0时 f x 在x 处取得最大值 最大值为f ln a lna a 1 因此f 2a 2等价于lna a 11时 g a 0 因此 a的取值范围是 0 1 考点三函数的极值与最值的综合问题典例3已知函数f x x3 ax2 bx c 曲线y f x 在点x 1处的切线为l 3x y 1 0 当x 时 y f x 有极值 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 由曲线y f x 在点x 1处的切线l的斜率为3 可得3 1 2a b 3 当x
11、时 y f x 有极值 则f 0 即3 2a b 0 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为1 所以f 1 4 所以1 a b c 4 得c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 解得x1 2 x2 f x f x 的取值及变化情况如下表 所以y f x 在 3 1 上的最大值为13 最小值为 方法技巧1 当连续函数在开区间内的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 极值有可能是最值 但最值只要不在区间端点处取得 其必定是极值 3 1已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 解析 1 f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2处取得极值c 16 故有即化简得解得a 1 b 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4
