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1、新高考高考数学（理科）总复习汇编3.2解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2018全国6)在ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2答案A解析cos C=2cos2-1=-,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+215=32.AB=4.2.(2018全国9)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.答案C解析由S=absin C,得c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,sin C=cos C,即C=.3.(2017
2、山东9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A解析sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C,sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C,2sin Bcos C=sin Acos C,又ABC为锐角三角形,2sin B=sin A,由正弦定理
3、,得a=2b.故选A.4.(2016全国8)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A.B.C.-D.-答案C解析(方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cos A=-,故选C.(方法2)如图,在ABC中,AD为BC边上的高,由题意知BAD=.设DAC=,则BAC=+.BC=3AD,BD=AD.DC=2AD,AC=AD.sin =,cos =.cosBAC=cos=cos cos-sin sin=(cos -sin )=-,故选C.5.(2016全国13)ABC的内角A,B,C的对边分别为a
4、,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案解析因为cos A=,cos C=,且A,C为ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin-(A+C)=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.又因为,所以b=.新题演练提能刷高分1.(2018西南名校联盟适应性考试)在ABC中,若原点到直线xsin A+ysin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案A解析由已知可得=1,sin2C=sin2A+sin2B,c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.2.(2018广东茂
5、名联考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C+c=2a,且b=,c=3,则a=()A.1B.C.2D.4答案D解析已知2bcos C+c=2a,由正弦定理可得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C,sin C=2cos Bsin C,sin C0,cos B=.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,又知b=,c=3,解得a=4.故选D.3.(2018湖南益阳4月调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60,且ABC的面积为5,则ABC的周长为()
6、A.8+B.9+C.10+D.14答案B解析由题意,根据三角形面积公式,得absin C=5,即a5=5,解得a=4.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即c2=16+25-245,c=,所以ABC的周长为9+.故选B.4.(2018河南郑州第二次质量预测)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A.B.C.D.6答案A解析2cos2=2cos2=2cos2=2sin2=1-cos C,1-cos C-cos 2C=1.cos 2C=-cos C.2cos2C+cos C-1=0,解得co
7、s C=.因为故得到根据余弦定理得到,解得c的值为.5.(2018广东佛山质量检测一)ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=,cos A=,则ABC的面积S=()A.B.10C.10D.20答案C解析因为cos A=,所以sin A=,由正弦定理得到,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B)=,ABC的面积S=57=10.6.(2018山西晋城一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+=a,=20,c=7,则ABC的内切圆的半径为()A.B.1C.3D.答案D解析由csinB+=a及正弦定理得2sin Csin B+cos B=sin
8、 A,整理得sin Bsin C+cos Bsin C=sin A.sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin Bsin C+cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C,sin Bsin C=sin Bcos C,又sin B0,sin C=cos C,故tan C=,C=.=abcos C=20,ab=40.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即49=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-120,解得a+b=13.a+b+c=20.设ABC的内切圆半径为r,SABC=absin C=(a+b+c)r,r=
9、.选D.7.(2018江西重点中学盟校第一次联考)如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3=3,AB=AD=BC,CAD+ACB=,则=()A.B.C.D.答案A解析设BC=1,则AB=AD=,延长BC到E,使BE=3BC,所以CE=2,依题意3=2+()=2,所以ACDE,所以,由正弦定理得两式相除得,所以2sin-=sin ,所以=,=.在ABC中,由余弦定理得3=1+AC2-2ACcos ,AC=2,在RtACD中CD=,故,选A.8.(2018东北三省三校一模)在ABC中,AB=2,AC=,ABC=,则BC=.答案1解析由题意,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABB
10、Ccos B,即BC2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.(2018北京海淀期末)在ABC中,a=1,b=,且ABC的面积为,则c=.答案2或2解析SABC=absin C=1sin C=,则sin C=,cos C=,当cos C=时,c2=1+7-21=4,c=2;当cos C=-时,c2=1+7+21=12,c=2.10.(2018河北衡水中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,
11、14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案4 062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6 500米,BC=14里=7 000米,AC=15里=7 500米.在ABC中,由余弦定理有cos B=,B为锐角,sin B=.设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有=2R,R=4 062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和范围问题高考真题体验对方向1.(2015全国16)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案()解析如图.作CEAD交AB于E,则CEB=75,ECB=30.在CBE中,由正弦定理得,EB=.延长
12、CD交BA的延长线于F,则F=30.在BCF中,由正弦定理得,BF=,所以AB的取值范围为().2.(2014全国16)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案解析由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)c.a=2,a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=.sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.SABC=bcsin A,即(SABC)max=.新题演练提能刷高分1.(2018
13、吉林长春质量监测三)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,b=2,则ABC面积的最大值是()A.1B.C.2D.4答案B解析2bcos B=acos C+ccos A,由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,2sin Bcos B=sin(A+C)=sin B,cos B=.B=60,由余弦定理,得ac=a2+c2-4,故ac=a2+c2-42ac-4,有ac4,故SABC=acsin B.2.(2018陕西咸阳一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,则ABC面积的最
14、大值为()A.B.2C.D.答案B解析在ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,即8=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc8,当且仅当b=c时,等号成立,所以ABC面积的最大值为S=bcsin A=8sin =2,故选B.3.(2018河南六市一模)已知锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是()A.0,B.C.D.0,答案C解析b2=a2+c2-2accos B,ac=c2-2accos B,a=c-2acos B.sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A).ABC为锐角三角形,A=B-A,B=2A.0A,0B=2A,0-A-B=-3A,A.=sin A,选C.4.(201
