《2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理课件 理（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 4 6正弦定理 余弦定理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 在 ABC中 若角A B C所对的边分别是a b c R为 ABC外接圆半径 则 1 正弦定理 余弦定理 知识梳理 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 2RsinB 2RsinC sinA sinB sinC 2 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况如下 3 三角形常用面积公式 1 S a ha ha表示边a上的高 2 S absinC 3 S r a b c r为三角形内切圆半径 acsinB bcsinA 1 三角形内角和定理在 ABC中
2、 A B C 2 三角形中的三角函数关系 1 sin A B sinC 2 cos A B cosC 3 三角形中的射影定理在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 ABC中 若sinA sinB 则A B 3 在 ABC的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形ABC为锐角三角形 5 在 ABC中 6 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 1 2016 天津 在 ABC中 若AB BC 3 C 120
3、 则AC等于A 1B 2C 3D 4 考点自测 答案 解析 由余弦定理得AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC 即13 AC2 9 2AC 3 cos120 化简得AC2 3AC 4 0 解得AC 1或AC 4 舍去 故选A 2 教材改编 在 ABC中 A 60 B 75 a 10 则c等于 答案 解析 由A B C 180 知C 45 3 在 ABC中 若sinB sinC cos2 且sin2B sin2C sin2A 则 ABC是A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰直角三角形 答案 解析 2sinB sinC 1 cosA 1 cos B C cos B C 1 B
4、 C为三角形的内角 B C 又sin2B sin2C sin2A b2 c2 a2 综上 ABC为等腰直角三角形 4 2016 辽宁五校联考 设 ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 则角C 答案 解析 因为3sinA 5sinB 所以由正弦定理可得3a 5b 令a 5 b 3 c 7 则由余弦定理c2 a2 b2 2abcosC 得49 25 9 2 3 5cosC 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 答案 解析 1 证明 sinAsinB sinC 证明 则a ksinA b ksinB c ksinC s
5、inAsinB sinAcosB cosAsinB sin A B 在 ABC中 由A B C 有sin A B sin C sinC 所以sinAsinB sinC 解答 由 1 知 sinAsinB sinAcosB cosAsinB 思维升华 应用正弦 余弦定理的解题技巧 3 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 4 灵活利用式子的特点转化 如出现a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 答案 解析 边化角 2 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 b 且sin A C 2cosAsinC 则b等于A 6B
6、4C 2D 1 答案 解析 角化边 由题意 得sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC 即sinAcosC 3cosAsinC 由正弦 余弦定理 得 整理得2 a2 c2 b2 又a2 c2 b 联立 得b 2 故选C 题型二和三角形面积有关的问题 例2 2016 浙江 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知b c 2acosB 1 证明 A 2B 证明 由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB 故2sinAcosB sinB sin A B sinB sinAcosB cosAsinB 于是sinB sin A B 又A B 0 故0 A B 所以
7、B A B 或B A B 因此A 舍去 或A 2B 所以A 2B 解答 由sinB 0 得sinC cosB 思维升华 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 跟踪训练2在 ABC中 内角A B C所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 C 则 ABC的面积是 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用 命题点1判断三角形的形状 例3 1 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 cosA 则 ABC为A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 等边三
8、角形 答案 解析 即sin A B 0 所以cosB 0 即B为钝角 所以 ABC为钝角三角形 2 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB asinA 则 ABC的形状为A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定 答案 解析 由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A sin B C sin2A 即sin A sin2A sinA sin2A A 0 sinA 0 sinA 1 即A ABC为直角三角形 引申探究1 例3 2 中 若将条件变为2sinAcosB sinC 判断 ABC的形状 解答 2sinAcosB sinC si
9、n A B 2sinAcosB sinAcosB cosBsinA sin A B 0 又A B为 ABC的内角 A B ABC为等腰三角形 2 例3 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosAsinB sinC 判断 ABC的形状 解答 又由2cosAsinB sinC得sin B A 0 A B 故 ABC为等边三角形 命题点2求解几何计算问题 解答 例4 2015 课标全国 如图 在 ABC中 D是BC上的点 AD平分 BAC ABD面积是 ADC面积的2倍 因为S ABD 2S ADC BAD CAD 所以AB 2AC 2 若AD 1 DC 求BD和AC的长 解答 在 A
10、BD和 ADC中 由余弦定理 知AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC 故AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 6 又由 1 知AB 2AC 所以解得AC 1 思维升华 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练3 1 在 ABC中 内角A B C所对的边长分别是a
11、 b c 若c acosB 2a b cosA 则 ABC的形状为A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 答案 解析 c acosB 2a b cosA C A B 由正弦定理得sinC sinAcosB 2sinAcosA sinBcosA sinAcosB cosAsinB sinAcosB 2sinAcosA sinBcosA cosA sinB sinA 0 cosA 0或sinB sinA A 或B A或B A 舍去 ABC为等腰或直角三角形 2 2015 课标全国 在平面四边形ABCD中 A B C 75 BC 2 则AB的取值范围是 答案 解析 如图所
12、示 延长BA与CD相交于点E 过点C作CF AD交AB于点F 则BF AB BE 在等腰三角形CBF中 FCB 30 CF BC 2 在等腰三角形ECB中 CEB 30 ECB 75 二审结论会转换 审题路线图系列 1 求cosA的值 规范解答 审题路线图 返回 返回 课时作业 A 135 B 105 C 45 D 75 答案 解析 又由题知 BC AB A 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 3 2016 西安模拟 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB
13、 asinA 且sin2B sin2C 则 ABC的形状为A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 答案 解析 由bcosC ccosB asinA 得sinBcosC sinCcosB sin2A sin B C sin2A 即sinA sin2A 在三角形中sinA 0 sinA 1 A 90 由sin2B sin2C 知b c 综上可知 ABC为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 在 ABC中 已知b 40 c 20 C 60 则此三角形的解的情况是A 有一解B 有两解C 无解D 有解但解的个数不确定 答案 解析 角B不存在
14、 即满足条件的三角形不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 即a2 c2 b2 ac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanB ac 则角B的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 8 又b c 2 b
15、2 2bc c2 4 b2 c2 52 a 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足asinB bcosA 若a 4 则 ABC周长的最大值为 答案 解析 12 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosA 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 ABC周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2015 湖南 设 ABC的内角A B C的对边
16、分别为a b c a btanA 1 证明 sinB cosA 证明 又 A 0 sinA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若sinC sinAcosB 且B为钝角 求A B C 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2015 陕西 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 向量m a 与n cosA sinB 平行 1 求A 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 方法一由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 得7 4 c2 2c 即c2 2c 3 0 因为c 0 所以c 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求角A和角B的大小 解答 即sinB 1 cosC 则cosC 0 即C为钝角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4
