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1、第三节线段的定比分点和平移 2 图形的平移 1 平移 设F是坐标平面内的一个图形 将F上所有点按照方向 移动长度 得到图形F 我们把这一过程叫做图形的平移 2 平移公式 设P x y 为图形F上任意一点 它按向量a h k 平移后的图形F 上的对应点为P x y 则有 同一 同样 2 在P1 P P2三点中 任何一个点都可以看作起点 分点 终点 解题时可以灵活选取分点 以方便计算 3 确定 值时 可以画图形 先求长度比 再看数量比 也可利用向量的线性运算直接求出 4 将一个图形平移 图形的大小 形状不变 只是它在坐标系中的位置发生了变化 因此 在平移前后 图形中那些与位置无关的几何量 如面积
2、图形上两点间的距离都是不变的 而那些与位置有关的量 如图形上的点的坐标 图形的解析式等都会发生变化 利用图形的平移 可以使复杂的函数解析式变得简单 以便研究函数的性质 5 一向量平移后 向量的坐标不会变化 而它的起点 终点的坐标是发生变化的 6 平移公式中有三个量 平移前点的坐标 平移后点的坐标 向量的坐标 这三者 知二能求一 7 将点P平移到P 能产生这种效果的向量是唯一的 把曲线 非直线 平移的向量一般也是唯一的 但将直线l平移到直线l 能产生这种效果的向量不是唯一的 要特别注意 例1已知点A 1 4 B 5 2 线段AB上的三等分点依次为P1 P2 求P1 P2点的坐标及A B分所成的比
3、 规律总结 在解关于定比分点的问题时 相对地理解始点 终点 分点很重要 在P A B三个点中 每个点都可以作为始点 终点 分点 但要注意不同的始点 终点 分点对应着不同的 值 不是距离比 而是共线向量之比 例2已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A 2 1 一组对边AB CD的中点分别为M 3 0 N 1 2 求平行四边形各个顶点坐标 解 解法一 设其余三个顶点为B xB yB C xC yC D xD yD 如图 规律总结 要充分理解点的坐标与向量的坐标间的关系 如果能运用向量求点的坐标 则有时显得更为简捷 要注意利用 备选例题2设平行四边形三个顶点坐标为A 0 0 B 0 b C a c
4、 求第四个顶点D的坐标 解 设第四个顶点坐标为D x y 1 当四顶点按逆时针ACDB排列时 如图所示 由中点坐标公式可得 例3将函数y x2进行平移 使得到的图象与函数y x2 x 2的图象两交点关于原点对称 求平移后的图象的解析式 规律总结 本题的解题关键是确定平移向量a h k 此解中巧用根与系数的关系 起到了简化运算的作用 分析 利用向量数量积的运算法则 求f x 的表达式 再利用三角函数恒等变形 求出x的值 利用平移公式求出h k的值 规律总结 按向量平移和沿坐标轴平移是统一的 按向量a h k 平移 若h 0 则沿x轴方向向右平移h个单位 若h 0 则沿x轴方向向左平移 h 个单位
5、 k 0 沿y轴向上平移k个单位 若k 0 则沿y轴向下平移 k 个单位 备选例题4 2011 辽宁模拟 设函数f x a b c 其中向量a sinx cosx b sinx 3cosx c cosx sinx x R 1 求函数f x 的最大值和最小正周期 2 将函数y f x 的图象按向量d平移 使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称 求长度最小的d 错因分析 概念混淆 定比分点概念不清致误 错因分析 误区一 识记不好 是分点P可能在线段上或延长线上两种情况 得出 3 忘记讨论 误区二 识记不好 定比分点公式起点 终点坐标代错造成错误 例3已知函数y f x 的图象为F 将F按向量a平
6、移后的图象为F 若F 的表达式为y f x 求平移向量a 解题思路 设a h k 点P x y 为y f x 上任意一点 它在平移后图象为F 上的对应点为P x y 错因分析 平移公式用错是解题失误的关键 高考复习 不等式 第一节不等式的概念和性质 a b a b a b a b a b a b 3 不等式的性质现行教材中介绍的不等式的11条性质可以分为两部分 第一部分为以下4条性质定理 1 对称性 a b 2 传递性 a b b c 3 不等量加等量 a b 4 不等量乘正量 a b c 0 b a a c a c b c ac bc a c b d a c b d ac bd 6 要注意
7、a b 0 an bn n N 且n 1 中n的奇偶性 当n为正奇数时 条件可放宽 即 a b an bn 是成立的 7 由不等式的乘法法则可知在不等式的两边同时乘以 或除以 一个非零实数 不等号有可能改变 它取决于该实数的正负 因此不能在不等式两边同时乘以 或除以 一个含有字母又不能确实其正负性的代数式 1 注意不等式性质的单向性或双向性 也就是说每条性质是否具有可逆性 a b b a a b a c b c a b ac bc c 0 等都是可以逆推的 而其余几条性质不可逆推 2 在乘法法则中 要特别注意 乘数c的符号 例如当a b ac2 bc2 当c 0时 取 分析 判断命题的真假 要
8、紧扣不等式的性质 特别注意条件与结论间的关系 答案 C c d c d a b a c b d a c b d 正确 a b d c 0 a d c b d c 正确 答案 C 分析 左右项数相同 都是和或积 可分别采用作差法或作商法比较 规律总结 实数大小的比较有 作差比较法 和 作商比较法 两种 可根据数式的结构特点灵活选用 作差比较法 的关键一步是变形 手段可有通分 因式分解 配方等 变形的目的是有利于判断符号 因此变形越彻底 越有利于下一步的判断 在数式含有幂或根式 绝对值时 可采用 作商比较法 在用 比较法 时 有时可将原数式变形后再作差或作商进行比较 若是选择题还可用特殊值法判断数
9、的大小关系 例3设f x ax2 bx且1 f 1 2 3 f 1 4 求f 2 的取值范围 分析 因为f 1 a b f 1 a b 而1 a b 2 3 a b 4 又a b与a b中的a b不是独立的 而是相互制约的 因此 需将f 2 用a b和a b整体表示 规律总结 函数 方程与不等式之间互相渗透 涉及到多个参变量的函数取值范围时 可以运用方程的思想 采用整体换元 通过列方程或待定系数法转换 备选例题3将题目条件改为 已知函数f x ax2 c满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求f 3 的取值范围 例4设f x 1 logx3 g x 2logx2 其中x 0且x 1 试比较f
10、x 与g x 的大小 分析 运用对数函数的运算性质 对x的范围进行分类讨论 规律总结 作差比较法是比较两个实数大小的最基本方法 其关键是作差后进行恒等变形 当差的符号不确定 要进行分类讨论 答案 A 错因分析 解法一构造函数 利用基本不等式 注意论证x 1 0 求函数最值 解法二首先利用基本不等式 得到关于 x y 的一个一元二次不等式再解之 同时要注意等号成立的条件 第二节算术平均数和几何平均数 a b 小 大 例1已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 分析 本题可采用分析法 充分利用已知条件及均值不等式的证明 解 a 0 b
11、 0 c 0且a b c 1 要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 规律总结 用基本不等式求函数的最值时 关键在于将函数变形为两项的和或积 使这两项的和或积或平方和为定值 然后用基本不等式求出最值 在求条件最值时 一种方法是消元 转化为函数的最值 另一种方法是将要求最值的表达式变形 然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值 不管哪种题 哪种方法 在用基本不等式求最值时都必须要验证等号成立的条件 分析 认真审题 理解维修费的计算方法 表示出维修费 然后写出平均损耗的表达式 化简之后利用基本不等式求出平均
12、损耗的最小值 从而得到机器的使用天数 备选例题3 2008 湖北高考 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 错因分析 由于技能不熟 解决不当 容易多次变形 等号不能同时成立 错因分析 数形结合的思想方法不能灵活运用 几何问题转化不成代数问题 是该题做错的主要原因 第三节不等式的证明 1 比较法 比较法是证明不等式的最基本 最重要的方法之一 它可分为 1 作差法 理论依据 a b a b a b 证
13、明步骤 作差法 作商法 a b 0 a b 0 a b 0 作差 变形 判断符号 作商 变形 判断与 1的关系 2 分析法从让求证的不等式出发 逐步寻求使不等式成立的 直至所需条件被确认成立 就断定求证的不等式成立 这种证明方法叫分析法 分析法的思想是 即从求证的不等式出发 探求使结论成立的充分条件 直至已成立的不等式 采用分析法证明不等式时 常用 的符号 有时 若为充要条件时 也常用 的符号 证明过程常表示为 要证 只要证 充分 条件 执果 索因 3 综合法所谓综合法 就是从和已经证明过的基本不等式和不等式的推导出所要证明的不等式成立 可简称为 在使用综合法证明不等式时 要注意基本不等式的应
14、用 常用的基本不等式有 1 a 0 a2 0 a b 2 0 a b R 2 a2 b2 2ab a b 2 0 a b 当且仅当a b时取等号 题设条件 性质 由因导果 R 0 0 ab 0 ab 0 4 反证法先假设不成立 即要证的不等式的反面成立 如要证不等式M N 先假设 由题设及其他性质 推出矛盾 从而否定假设 肯定M N是正确的 凡涉及到要证明的不等式为否定性命题 唯一命题或含 至多 至少 等字句时 可考虑用反证法 所要证明的不等式 M N 5 换元法换元法是对结构较为复杂 量与量之间的关系不甚明了的命题 通过恰当引入新变量 代换原题中的部分式子 简化原有结构 使其转化为便于研究的
15、形式 常见的换元法有 等换元方法 换元后要注意变化 三角换元 均值换元 设差换元 范围 6 放缩法欲证A B 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间量使用B B1 B1 B2 Bi A或A A1 A1 A2 Ai B 再利用传递性 以达到欲证的目的 这种方法叫放缩法 具体放缩方法有公式放缩和利用某些函数的单调性放缩等 常用技巧有 舍去一些正项或负项 在和或积中换大 或换小 某些项 扩大 或缩小 分式的分子 或分母 等 放缩时要注意不等式的一致性 7 判别式法判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程 一元二次不等式 二次函数的根 解集 函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式 从而推出
16、欲证的不等式的方法 8 其他方法最值法 x y恒成立 x ymax x y恒成立 x ymin 构造法 根据欲证不等式的具体结构特征 通过构造函数 数列 复数或图形等 达到促进转化 简化证明的目的 这种方法叫构造法 另外还有导数法 利用函数的单调性 数学归纳法等 3 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以实际证题时 可将分析法 综合法结合起来使用 即 用分析法分析 用综合法书写 4 用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实相违背等 推导出的矛盾必须是明显的 5 换元法多用于条件不等式的证明 变量较多 一个变量难以用另一个变量来表示 这样换元后可以达到减元的目的 使问题化难为易 化繁为简 在换元时 必须遵守一个原则 就是必须确保原来变量的范围
