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1、新高考高考数学（理科）总复习汇编4.2数列解答题命题角度1等差、等比数列的判定与证明高考真题体验对方向1.(2016全国17)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.解(1)(等比数列的定义与通项公式)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-,即.解得=-1.2.(2014全国17)已知数列an满足a1=1
2、,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明+.解(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此an的通项公式为an=.(2)由(1)知.因为当n1时,3n-123n-1,所以.于是+1+=.所以+.新题演练提能刷高分1.(2018安徽江南十校3月联考)已知Sn是数列an的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:Sn-n+2为等比数列;(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明原式转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n2),即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2Sn-1-(n-1)
3、+2.注意到S1-1+2=4,所以Sn-n+2为首项为4,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知:Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+2n+1)+(1+2+n)-2n=-2n=.2.(2018吉林长春质量监测二)已知数列an的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列an是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列bn的前10项和S10.(1)证明an=2n-11,an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(nN*),数列an为等差数列.(2)解由(1)得bn=|2n-11|,当n5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n6时,bn=|2n-1
4、1|=2n-11.S10=55-2(1+2+3+4+5)+2(6+7+8+9+10)-55=50.3.(2018福建福州期末)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列an是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列an是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-
5、1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n=1+2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.(2018广西柳州、南宁第二次联考)设a1=2,a2=4,数列bn满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列bn+2是等比数列;(2)求数列an的通项公式.解(1)由题知=2,又b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4,bn+2是以4为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=42n-1,故bn=2n+1-2.an+1-an=bn,a2-a1=b
6、1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1,an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2)=2+-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n2).而a1=2=21+1-21,an=2n+1-2n(nN*).命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验对方向1.(2018全国17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所
7、以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.2.(2018全国17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.解(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,
8、m=6.3.(2016全国17)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.解(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)因为bn=所以数列bn的前1 000项和为190+2900+31=1 893.新题演练提能刷高分1.(2018北京城六区一模)设等差数列an的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列.(1
9、)求an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,求使Sn35成立的n的最小值.解(1)设等差数列an的公差为d,d0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以=a2a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去).所以an的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为an=2n-3,所以Sn=n2-2n.依题意有n2-2n35,解得n7.故使Sn35成立的n的最小值为8.2.(2018广东东莞二模)已知等比数列an与等差数列bn,a1=b1=1,a1a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求an,bn的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列a
10、n,bn的前n项和,若Sn+Tn100,求n的最小值.解(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,则解得(舍)或an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn=2n-1.Tn=.由Sn+Tn100,得2n+101,是单调递增数列,且26+=85101,n的最小值为7.3.(2018四川南充三诊)已知an是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log2an,求数列bn前n项的和.解(1)设数列an的公比为q,则a3=a1q2=2q2,a4=a1q3=2q3,因为a1,a3+1,a4成等差数列,所以a1+a4=2(a3+1),即2+
11、2q3=2(2q2+1),整理得q2(q-2)=0,因为q0,所以q=2,所以an=22n-1=2n(nN*).(2)因为bn=log2an=log22n=n,所以Sn=b1+b2+bn=1+2+n=(nN*).4.(2018湖北重点高中协作体期中)已知等差数列an的公差d为1,且a1,a3,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn=+n,求数列bn的前n项和Sn.解(1)在等差数列an中,因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,即(a1+2d)2=+3a1d,解得a1d+4d2=0.因为d=1,所以a1=-4,所以数列an的通项公式an=n-5.(2)由(1)知an=n-5,所以bn=+n=2n+n.Sn=b1+b2+b3+bn=(2+22+23+2n)+(1+2+3+n)=2n+1+-2.5.(2018安徽马鞍山第二次质监)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,a2=37,S4=152.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列|an-2n|的前n项和Tn.解(1)设数列an的首项为a1,公差为d,则解得所以数列an的通项公式为an=2n+33(nN*).(2)由(1)知,|an-2n|=|2n+33-2n|=当00,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=
