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1、计算教学中的创新思维培养资料 20以内进位加法 计算是一种映射。如果给出若干元素，按照某种法则存在唯一元素与它相对应，称之为计算。计算学习包括算法理解，技能习得和问题解决，它们相互联系并构成教学的整体。教学中要处理好三者之间的关系，注意避免把获得正确的计算结果作为教学的唯一要求，应当重视在计算活动中对学生的思考性训练，注重培养学生的创新思维能力。下面以20以内进位加法为例，谈一些思考和实践。一、学前基础的调查与教学启示 现在的小学生大部分受过学前教育，在学习20以内进位加法之前，已有相当一部分学生能熟练计算。2000年11月，我们曾在学生正式学习这一内容之前的一个月，对杭州市上城区一年级470
2、名学生进行调查，得出的结论是45.93%的学生能较熟练地进行计算，计算速度达到每分8题，平均每题的通过率是77.53%。2009年11月，我们再次对这一地区一年级新入学的491名学生进行调查，学前平均每题的通过率竟高达91.62%。两次测试每题通过率如下表：题目2001年通过率2009年通过率题目2001年通过率2009年通过率题目2001年通过率2009年通过率9+298.02%96.22%8+792.21%86.94%6+871.9090.38%9+396.23%92.78%8+881.03%93.13%6+965.5392.44%9+497.44%96.22%8+958.51%89.00
3、%5+696.0895.19%9+591.06%91.41%7+468.72%93.81%5+782.3489.69%9+684.89%90.38%7+571.70%94.50%5+868.5190.38%9+764.68%87.63%7+669.7987.97%5+978.7294.85%9+865.74%87.63%7+774.04%89.69%4+770.8590.38%9+984.04%89.00%7+870.21%89.00%4+882.5592.10%8+375.32%93.13%7+944.68%89.00%4+950.8590.72%8+494.74%91.07%6+574.8
4、9%92.44%3+863.4091.75%8+573.83%95.88%6+692.34%91.97%3+995.2893.81%8+687.70%87.63%6+780.31%91.75%2+982.7796.56%需要说明的是，测试题目就是表中所列的36式，但并非按上述顺序，而是打乱顺序随机排列的。两次调查的结果都表明，仅就获得计算结果而言，学生在正式学习20以内进位加法之前，已经具备十分扎实的基础，与课程标准（实验稿）提出的每分810题的要求已十分接近。基于这样的事实，教学20以内进位加法，学习起点如何定位？教学的重心如何转向？我们的回答是，教学的重心不再是计算技能的习得，而应该在理解
5、算理和掌握算法的基础上，把重心放在计算活动中的数学方法训练上，通过合适的训练形式挑战学生的思维，培养学生的创新思维能力。二、问题情境的设计与算理理解理解算理是掌握算法的逻辑起点。在学习20以内的进位加法之前，学生已经学习了10以内的加法与减法，包含相应的十几加几或减几，这些计算都不涉及进位与退位，侧重于对运算意义的理解并把计算关联到广泛而不同的情境。从20以内的进位加法开始，教学转向形式化的计算并侧重于对算理理解和算法掌握。教学时以“凑10法”为基础，通过问题情境，帮助学生理解算理，探索多种算法。 如，先出示情境图。 师：观察这幅图，你知道了什么？ 生：左边有8个鸡蛋，右边有5个鸡蛋。 师：一
6、共有多少个鸡蛋，可以怎么算？ 生：8+513. 师：你是怎么算出答案13的？ 生：8与10相差2，5里面有2，把2分到8这里去就是10了，还多3个，就是13。 师：刚才这位同学说的是什么意思？ 生：只要把左边摆成10个，右边就剩下3个，一看就知道是13。 学生解释，教师根据师生对话，先动态演示移动鸡蛋的过程，再完成下面的板书（如下面左图）。 师：还有没有别的方法也能算85？讨论中，学生以汇报了以下三种方法： 生1：把8分成3和5，5加5等于10，再加上3就是13.（如上面右图） 生2：把8当成10，用105，因为8不到10，多算了2，要减去，这样它的答案也是13。 学生解决问题策略多样化是创新
7、思维的表现。但是这些策略不是无源之水，与教材的编排设计与学生经历的训练有关，限于篇幅，这里主要讨论“凑10法”。首先，“拿鸡蛋”的活动情境隐含了“凑10”的思考过程，情境支持了算理的理解。教学中，教师的主要任务就是引导学生解释和说明，让学生通过多样的方法演绎“凑10”的思考过程。学生经历了问题情境、语言叙述和算式表征之间相互联系和转译的过程，并在这个过程中理解算理，掌握算法。 其次，学生为什么会对“凑10”比较敏感？这个问题可以联系到教材设计认数活动中。我们在设计“认识10”时，强调把“10”作为一个新的计数单位，重视以“十”为单位计数。如延续到认识十几的数时，十分重视“圈10”的训练。如20
8、以内进位加法的教学，以“凑10”为基础，让学生在相似情境中迁移计算方法，这样就可以改变以往8加几、7加几逐类教学的方式，通过集中一两节课理解算理，探索多样算法，然后在后继的巩固练习中形成熟练的技能，提高教学的效率，把更多精力投入到更有价值的学习活动中去。三、数学思想渗透与数学方法的训练20以内进位加法，是进一步学习数运算的重要基础。教学时，不能止步于形成熟练的计算技能，而应当通过丰富多样的形式，加强计算活动中的思考性训练，渗透数学思想，训练数学方法，培养创新思维。1.形数转换。通过坐标图中的形与数、形与式的转换，建立数、式、形的联系，渗透形数结合的思想。2.信息推理。根据情境信息，在理解基数与
9、序数关系的基础上，对信息进行加工处理，解决问题。3.联系比较。根据式与式之间的关系，灵活选择计算的方法，并为后继学习乘加、乘减作准备。4. 代数思维。从同数连加求和到同图连加已知和求图形所示的数，培养可逆思考能力，渗透初步代数思维。5.构造性方法。如，等距搭配。观察数列的规律，构建和相等的式子。先从4,5,6,7,8这五个数中，找出两个数相加后和相等的三对数。4+7+ + +再把这五个数填在每个图的小方格里，使横、竖三个数的和相等。864和是 和是 和是又如，选数填空。先构建出基本的等式，再通过数的分解获得多种解法。 此题共有52个解，按和值分类，解的个数呈正态分布。在限定的时间内，学生能否得
10、到解答，能得到几个解答，可以反映学生的基本运算能力和解题策略水平。我们对两个地区567名学生进行调查发现，通过和值相等的口算系列训练之后，学生解题此题的通过率比自然状态（没有经过系统训练）有很大提高，能独立得到1个及1个以上解的从78.5%提高到95.3%，其中能得到5个以上解的从12.7%提高到63.3%。再如，方格连数。根据不同的年级，可以把和数改成30，40或其它，答案多达数十种。这种类型的练习，结构比较简单，但是训练的容量很大。以上练习，可以安排在学习了20以内进位加法之后进行，练习目的除了巩固基本的计算方法，形成熟练的计算技能之外，更侧重于数学思想的渗透和数学方法的训练。由于计算的算
11、式一般不是直接给出，而是由学生自己构造出来，计算时需要思考数与数的关系或数的空间位置，思考性和挑战性明显增强。应当强调，这些富有挑战性的数学问题联系的知识基础并不复杂，学生创新思维主要体现在观察、比较、探索和发现的过程之中。数学教育应当注重开发既联系重要基础，又能拓展思维空间的学习材料，把加强基础知识与培养创新思维有机地结合起来。同时，那种认为学生年龄太小，学习内容太简单，不能进行创新思维能力培养的想法也是错误的。 表内乘、除法 乘、除法是学生学习了加、减法之后再学习的新运算。学生学习乘、除法需要更多的数学理解，要以新的思维方式进行思考，一般认为，学生学习乘、除法是计算概念的一次扩展，是认知上
12、的一次飞跃。在学生学习乘、除法之前，应当进行铺垫性训练，以降低学生在学习新知识第一时间所产生的难度，提高新知的掌握水平。同时，乘、除法的学习拓展了学生数学视野和应用数学的空间，教学应当重视培养学生的数学思维，特别是推理能力。一、乘、除法学习的铺垫性训练乘法表示两个集合之间“一与多”相对应的恒定关系。乘法涉及两个数，分别是每个集合中物体的个数和集合的个数，即通常教学中所说的相同加数和相同加数的个数。乘法是表示同数连加的一种方法，求几个相同加数的和可以用乘法计算，这说明乘法与加法密切联系。但是，与加法相比较，由于乘法中每个数所起的作用不同，理解乘法中三个数是如何联系的，对学生的抽象思维能力要求更高
13、。因此，在正式学习乘法之前，有必要安排铺垫性的训练。1.同数相加。乘法的本质是一类特殊的加法，这里所指的特殊就是加数相同。如结合图示直观，初步感知每份量、份数与总数之间的关系。把同数相加的问题情境转译成“几个几相加等于几”，为学习乘法这一新知识的含义打下基础。 2.一与多对应。一与多对应是指一个与多个相对应，学生遇到的比较简单的乘法形式，如1辆汽车有4个轮子，就是这种对应关系。日常生活中这种例子比比皆是。如在正式学习乘法之前，让学生通过数集合中物体的个数与集合的个数，体会这些数的含义以及它们之间的关系，为学习乘法积累活动经验。3.递推计算。这里所指的“递推”不是指演绎推理中递推关系，而是在同数
14、相加的计算中，基于已有的计算结果，结合相同加数个数的变化推算出新的得数。如这种训练结合20以内的进位加法进行，使学生在熟练加法计算的同时，获得对相同加数，相同加数个数等概念的初步理解。随着学生认数范围的扩展，这类铺垫可以结合不同的基础进行。如学习两位数加一位数之后安排：联系进位加法的学习，安排：除法学习的早期铺垫，主要包括两个方面：一是理解除法的上位概念平均分，二是积累把物体平分的活动经验，这两个方面是相互联系的，在实际教学中也可以结合在一起进行。如教学时，可以呈现几种不同的分法，如通过正反两种例子的比较，帮助学生建立平均分的概念。进一步，可引导学生通过画图或操作学具，把物体拆分成相等的集合。如平分对儿童来说是很生动的数学活动，在平分活动中，需要考虑三个因素，一是全体的大小，二是分为几部分和每部分的大小，三是每部分必须相等。这些思考构成了理解平均分的基础。平均分通常有两种含义：一是多个物体的平均分配，二是一个物体的平均分。前者是认识除法的基础，后进是认识分数的起点。一般在学习除法之前只讲前者，对于基础较好的班级，也可以适当考虑后者。如让
