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1、 1 厦门市湖滨中学厦门市湖滨中学 2018 20192018 2019 学年第二学期期中考学年第二学期期中考 高二理科数学试卷高二理科数学试卷 一 一 选择题 选择题 本题共本题共 1212 个小题 个小题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 在答题卷上相应题目的答题区域内作答在答题卷上相应题目的答题区域内作答 1 若复数z满足 2z 3 2i 其中 i 为虚数单位 则z z A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 2 设命题p x 0 2x log2x
2、则 p为 A x 0 2x0 2x log2x C x 0 2x0 2x log2x 3 已知 若 8 则 t 0 0 22 d t xx t A 1 B 2 C 2 或 4 D 4 4 设曲线在点处的切线与直线平行 则实数等xxfcos1 4 4 f01 ayxa 于 A B C D 2 2 2 2 22 5 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有 2 位 优秀 2 位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对 大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 A 乙可以知道四人的成绩 B 丁可以知道四人的成绩 C 乙 丁可以知
3、道对方的成绩 D 乙 丁可以知道自己的成绩 6 若p 0 q x2 5x 6 0 则 q是 p的 x 5 x 3 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 某校对甲 乙两个文科班的数学考试成绩进行分析 规定 大于或等于 120 分为优秀 120 分以下为非优秀 统计成绩后 得到如下的 2 2 列联表 根据列联表的数据判断有多 少的把握认为 成绩与班级有关系 优秀 非优秀 合计 2 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 K2 k 0 100 0 050 0 025 0 010 0 001 k 2 706 3 841 5
4、 024 6 635 10 828 参考公式与临界值表 2 2 dbcadcba bcadn K A 90 B 95 C 99 D 99 9 8 方程 x y 3 0 表示的曲线是 y2 4x A 两条射线 B 抛物线和一条线段 C 抛物线和一条直线 D 抛物线和两条射线 9 已知 2 3 4 6 a b 均为实2 2 3 2 3 3 3 8 3 8 4 4 15 4 15 6 a b a b 数 则推测 a b 的值分别是 A a 6 b 18 B a 6 b 25 C a 6 b 30 D a 6 b 35 10 设 函数f x 在 R R 上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f
5、x 的 图像 如图 9 所示 则下列结论中一定成立的是 A 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 B 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 图 9 C 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 D 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 11 已知椭圆C 1 a b 0 的左 右顶点分别为A1 A2 且以线段A1A2为直径的圆与 x2 a2 y2 b2 直线bx ay 2ab 0 相切 则椭圆C的离心率为 A B C D 6 3 3 3 2 3 1 3 12 已知函数f x x3 ax2 bx a2 7a在x 1 处取得极大值 10 则 的值为 a b A B 2 C 2 或
6、 D 2 或 2 3 2 3 2 3 第 卷 非选择题第 卷 非选择题 共共 100100 分 分 二 二 填空题填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 小题 每小题每小题 4 4 分 分 共共 1616 分 在答题卷上的相应题目的答题区域内分 在答题卷上的相应题目的答题区域内 3 作答 作答 13 已知a b R R a bi 2 3 4i i 是虚数单位 则a2 b2 14 函数f x lnx x在区间 0 e 上的最大值为 15 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 按规律 第 600 个整数对为 16 已知
7、 O的方程是x2 y2 2 0 O 的方程是x2 y2 8x 10 0 由动点P向 O和 O 所引的切线长相等 则动点P的轨迹方程是 三 三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 共共 7474 分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 在分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 在 答题卷上相应题目的答题区域内作答 答题卷上相应题目的答题区域内作答 17 本小题满分 8 分 已知椭圆过点M 2 且与椭圆 9x2 5y2 45 有相同的焦点 求椭6 圆的标准方程 18 本小题满分 12 分 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x
8、 在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在该区间上的最小值 19 本小题满分 12 分 设非等腰 ABC 的内角A B C 所对的边长分别为a b c且A B C 成等差数列 用分析法证明 1 a b 1 c b 3 a b c 20 本小题满分 14 分 新能源汽车的春天来了 2018 年 3 月 5 日上午 李克强总理做政府 工作报告时表示 将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年 自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日 对购置的新能源汽车免征车辆购置税 某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品 牌新能源汽车 他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销
9、量如下表 月份 2017 12 2018 01 2018 02 2018 03 2018 04 月份编号 1 2 3 4 5 销量 万辆 0 5 0 6 1 1 4 1 7 经分析 可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y 万辆 与月份编号t 之间的相关关系 请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程 并预测 2018 年 atby 4 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量 2018 年 6 月 12 日 中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程 新能源 汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里 程 对购车补贴进行新一轮调整 已知某地拟购买新能
10、源汽车的消费群体十分庞大 某调研 机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查 得到如下 一份频数表 补贴金额 预期值区 间 万元 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 频数 20 60 60 30 20 10 求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值x的方差s2及中位数的 估计值 同一区间的预期值可用该区间的中点值代替 估计值精确到 0 1 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 2 1 tbya t nt yt nyt b n i i n i ii 5 1 8 18 i iiy t 21 本小题满分 14 分
11、设点P x y y 0 为平面直角坐标系xOy内的一个动点 其中O为 坐标原点 点P到定点的距离比点P到x轴的距离大 2 1 0 1 2 求点P的轨迹方程 若直线l y kx 1 与点P的轨迹相交于A B两点 且 2 求实数k的 AB 6 值 22 本小题满分 14 分 函数 0 e 是自然常数 x eaaxxxf 2 a 1 当 x 0 1 时 函数的最大值是 求的值 xf 2 e a 2 当 x 0 1 时 证明 x e xxe xxx ln 2 23 5 6 厦门市湖滨中学 2018 2019 学年第二学期期中考 高二理科数学试卷 参考答案 一 一 选择题 选择题 每小题每小题 5 5
12、分分 1 51 5 BBDDDBBDDD 6 106 10 BCDDDBCDDD 11 1211 12 AAAA 二 填空题二 填空题 13 513 5 14 114 1 15 15 5 315 31 16 16 x 3 2 三 三 解答题解答题 17 17 本小题满分 8 分 解 法一 由 9x2 5y2 45 得 1 其焦点分别为F1 0 2 F2 0 2 设所 x2 5 y2 9 求椭圆的标准方程为 1 a b 0 点M 2 在所求椭圆上 MF1 MF2 2a y2 a2 x2 b2 6 即2a 4 解得a 2 又 c 2 0 2 6 2 2 2 0 2 6 2 233 2 b2 a2
13、c2 8 所求椭圆的标准方程是 1 y2 12 x2 8 法二 所求椭圆与椭圆 1 有相同的焦点 x2 5 y2 9 可设所求椭圆的标准方程为 1 5 x2 5 y2 9 又 所求椭圆过点 2 1 解得 3 或 7 舍去 6 4 5 6 9 所求椭圆的标准方程是 1 x2 8 y2 12 18 18 本小题满分 12 分 解 1 f x 3x2 6x 9 令f x 0 解得x3 函数f x 的单调递减区间为 1 和 3 2 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a f 2 f 2 在 1 3 上f x 0 f x 在 1 2 上单调递增 又由于f x 在 2 1
14、 上单调递减 因此f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上 7 的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得a 2 f x x3 3x2 9x 2 f 1 1 3 9 2 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 19 19 本小题满分 12 分 证明 证明 要证明 1 a b 1 c b 3 a b c 只要证明 2acb abcb 3 a b c 只要证明 a c 2b a b c 3 a b c b 只要证明 a c b 2 b a c b 3 ac b2 bc ab 只要证明a2 c2 b2 ac 只要证明 cos B 222 2 acb ac 1 2 只要证明B
15、 60 考虑到A B C 180 所以只要证明A C 2B 即证A B C成等差数列 因为A B C成等差数列 故结论成立 2020 本小题满分 14 分 解 由表格数据可知 3 t 1 2 3 4 5 5 1 04 y 0 5 0 6 1 1 4 1 7 5 2 304 1 35 8 185 5 1 5 1 ytytyytt i ii i ii 1045555 2 5 1 2 5 1 2 tttt i i i i 8 32 0 10 2 3 5 1 2 5 1 i i i ii tt yytt b tbya 1 04 0 32 3 0 08 y关于t的线性回归方程为 0 32t 0 08 y
16、 根据t的含义 2018 年 5 月时 t 6 代入可得 0 32 6 0 08 2 万辆 即 2018 y 年 5 月销量的预测值为 2 万辆 由表中数据可知各组频率依次为 0 1 0 3 0 3 0 15 0 1 0 05 平均值x 1 5 0 1 2 5 0 3 3 5 0 3 4 5 0 15 5 5 0 1 6 5 0 05 3 5 s2 1 5 3 5 2 0 1 2 5 3 5 2 0 3 3 5 3 5 2 0 3 4 5 3 5 2 0 15 5 5 3 5 2 0 1 6 5 3 5 2 0 05 1 7 0 1 0 3 0 40 5 中位数在区间 3 4 内 设中位数为m 有 20 60 60 100 解得m 3 3 中位数m 3 3 万元 m 3 4 3 21 本小题满分 14 分 解 设点P x y 过点P作x轴的垂线且垂足为点N 则 y 由题意知 PN PM y PN 1 2 x2 y 1 2 2 1 2 化简得x2 2y 故点P的轨迹方程为x2 2y 由题意设A x1 y1 B x2 y2 联立直线与点P的轨迹方程 得 y kx 1 x2 2y 消去y 化
