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1、专题14 数列的综合应用1、【2018年高考江苏卷】已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【答案】27【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，不符合题意；当n=2时，不符合题意；当n=3时，不符合题意；当n=4时，不符合题意；当n=26时，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.2、【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.（1）求和的通项公式；（2）设数列满足求.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依
2、题意，得解得故.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2） .记则得，.所以， .本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.3、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以
3、由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+) +0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5本题主要
4、考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力4、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=00时，所以单调递减，从而f（0）=1当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，d的取值范围为一、求通项公式的方法1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 等号右边为关于的表达式，且能够进行
5、求和 的系数相同，且为作差的形式二、数列的求和的方法（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其
6、中通项公式为分式和根式的居多（5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：
7、若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，三、数列中的单调性1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的
8、单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题四、放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据不等
9、式的性质：（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）（2）若，则，此性质可推广到多项求和：若，则: （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数） 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数） 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正
10、负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧： 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。题型一、数列中的通项与求和 数列中求通项、求和是最基本，也是最重要的问题，在试题的条件中经常会出现含有和Sn与项an的等式，这往往是问题的突破口，经常会使用退位(或进位)相减的方式，使问题转化为相邻项之间的关系，如果满足等差(或等比)数列的定义那就更
11、好，否则就是常规递推关系问题，通过构造等比数列解决问题的；而数列求和，则应根据通项的特点选择对应的求和方法，其中错位相减法和裂项相消法经常考到。例1、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn满足cn，求和c1c2cn；(3) 是否存在正整数p，q，r(pqr)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由规范解答 (1) 2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aaan1an，即(an1an)(an1an1)0.因为an是
12、正数数列，所以an1an10，即an1an1，所以an是等差数列，其中公差为1.在2Snaan中，令n1，得a11，所以ann.(2分)由2bn1bn得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即bn.(5分)(注：也可累乘求bn的通项)(2) 由(1)得cn，所以cn，(7分)所以c1c2cn.(9分)(3) 假设存在正整数p，q，r(pqr)，使得bp，bq，br成等差数列，则bpbr2bq，即.因为bn1bn，所以数列bn从第二项起单调递减当p1时，.若q2，则，此时无解；若q3，则，且bn从第二项起递减，故r4，所以p1，q3，r4符合要求；(11分)若q4，则2，即b12bq，又因为b1br2bq，所以b12bq，矛盾此时无解(12分)当p2时，一定有qp1.若qp2，则2，即bp2bq，这与bpbr2bq矛盾，所以qp1.此时，则r2rp.令rpm1，则r2m1，所以p2m1m1，q2m1m，mN*.综上得，存在p1，q3，r4或p2m1m1，q2m1m，r2m1(mN*)满足要求(16分)题型二、数列中的最值问题研究“和式”不等式恒成立问题，恒成立问题的基本方法有两类：第一类是先求和，再研究不等式，此种方法要求“和”要能求；第二类处理方法是直接研究单
