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1、有理数全章复习与巩固(提高)知识讲解 【学习目标】 1理解正负数的意义,掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用;5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类: (1)按定义分类: (2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示
2、正数与负数的界点0非正非负,是一个中性数2数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0 要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负4绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负
3、数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0 数a的绝对值记作 (2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则:(1)加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0相加,仍得这个数(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) (3)乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数同0相乘,都得0(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数即ab=a(b0) (5)乘方运算的符号法则:负数的奇次幂是负数
4、,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0 (6)有理数的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“”号的个数,例如:(3)=3,+(3)=3(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(3)(2)(6)=36,而(3)(2)6=36(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , 2运算律: (1)交换律
5、: 加法交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;(2)结合律: 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); 乘法结合律:(ab)c=a(bc) (3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法(4)作商比较法;(5)倒数比较法要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中,是正整数),此种记法叫做科学记数法例如:200 000=2.近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的
6、近似数或近似值.如长江的长约为6300,这里的6300就是近似数.要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释:(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.(2)精确度有两种形式:精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念1已知x与y互为相反数,m与n互为倒数,|x+y |+
7、(a-1)20,求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数,则x+y0,反过来也成立 (2)若有理数m与n互为倒数,则mn1,反过来也成立【答案与解析】因为x与y互为相反数,m与n互为倒数,(a-1)20, 所以x+y0,mn1,a1, 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 a2-a+1 a1,原式12-1+11【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【高清课堂:有理数的复习与提高 357129 复习例题2】【变式1】
8、选择题(1)已知四种说法: |a|=a时,a0;|a|=-a时, a0,则( ) Aab0 Ca0且b0 Da0且b0,-2a0,又-a-2a,所以|a|-2a综上所述:当a0时, |a|-2a;当a0时,|a|-2a(3)【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”. 类型四、规律探索 6.下面两个多位数1248624,6248624都是按照如下方法得到的:将第1位数字乘以2,若积为一位
9、数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A495 B497 C501 D503【思路点拨】多位数1248624是怎么来的?当第1个数字是1时,将第1位数字乘以2得2,将2写在第2位上,再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上,将第3位数字4乘以2的8,将8写在第4位上,将第4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第5位上,将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写在第6位上,再将第6位数字2乘以2得4,将其写在第7位上,以此类推根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248,后面6248循环,所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)24+6+2+4495,所以选A【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过