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1、12 生活中的概率,1随机事件的概率 (1)随机事件的概念 必然事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件 例如 “导体通电时发热”“抛一石块，下落”等都是必然事件 不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件,例如 “在标准大气压下且温度低于0时，冰融化”“在常温常压下，铁熔化” 等都是不可能事件 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件 例如 “李强射击一次，不中靶”“掷一枚硬币，出现
2、反面”“在一定条件下，一粒发芽种子会分多少蘖，1支、2支、还是3支，”都是随机事件,事件及其表示方法：确定事件和随机事件，一般用大写字母A、B、C、表示 (2)随机试验 对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行； 试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；,每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 像这样的试验是一个随机试验 如掷硬币这个试验，试验可以重复进行，每掷一次，就是进行了一次试验，但试验结果“正面向上”“反面向上”是明确可
3、知的，每次试验之前不能确定出现哪个结果，但一定会出现这两种结果中的一个,概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率,一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0,1中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A发生的可能性的大小，定义为概率,(4)正确理解有关概念 正确理解“频率”与“概率”之间的关系 随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，
4、且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小我们给这个常数取一个名字，叫作这个随机事件的概率概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率,要辩证地看待“必然事件”“不可能事件”“随机事件”及其“概率” 一个随机事件的发生，既有随机性(对单次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的对立统一 就概率的统计定义而言，必然事件的概率为1，；不可能事件的概率为0，；而任意事件A的概率满足0P(A)1. 必然事件和不可能事件可看作随机事件的两个极端情况由此看来，它们虽然是两类不同的事件，但
5、在一定情况下又可以统一起来，这正说明了二者既对立又统一的辩证关系,2概率的意义 (1)概率的正确理解 抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷两次质地均匀的硬币，不一定出现“一次正面向上，一次反面向上”，它可能“两次正面都向上”“两次反面都向上”“一次正面向上，一次反面向上”因为随机事件的发生有其随机性 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性,例如 做连续抛掷两枚硬币的试验100次，可以预见：“两个正面向上”大约出现25次；“两个反面向上”大约出现25次；“正面向上，反面向上各一个”大约出现50次 若某种彩票的中奖概率为 ，那么买1 000张这种彩票不一定能中奖
6、，因为购买彩票是随机的，每张彩票可能中奖，也可能不中奖因此，1 000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有多张中奖,新课：概率与生活 比赛中发球权的裁决、重大决策的选择、天气预报中的预测、各种试验结果的统计等，都涉及概率方面的知识，利用概率的统计与总结，可以使事情达到事半功倍的效果,1.频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关又如：如果一枚硬币是均匀的，全班每人做了10次抛币试验，得到正面朝上的频率可以是不同的，但抛硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关 2.在解决这类问题时，频率的计算公式是
7、一个比值的形式试验次数越多，得到的频率值越接近于概率,3.概率意义上的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性 4利用随机事件的概率解决实际问题 (1)“摸彩”这种赌博是一种“机会游戏”，它不过是数学中“概率论”这门学科的低级表现形式而已，并不是什么新鲜玩意，事实上，“概率论”就起源于17世纪中叶风行欧洲的赌博活动，因而有人把概率学讥讽为“赌徒之学”,(2)现在人们热衷的“体彩”“足彩”“福彩”问题均可借助随机事件的概率来探讨其中奖率 (3)解决
8、这类实际应用问题关键是将其转化为概率模型求解 (4)生活中实际问题的再认识 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上你认为这种想法正确吗？,尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次每个同学都连续抛掷两次硬币，统计全班同学的试验结果，可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”这正体现了随机事件发生的随机性 在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，你注意到裁判是怎样确定发球权的吗？这样的处理方法公平吗？,题型一
9、：试验与试验的结果 【例1】 指出下列试验的结果 (1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果； (2)某人射击一次命中的环数； (3)从集合Aa，b，c，d中任取两个元素构成的A的子集,解：(1)4种结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面； (2)11种结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环； (3)6种结果：a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d 评析：(1)在(1)中先后掷两枚硬币的结果是4个，而不是3个结果(正面、反面)和结果(反面、正面)是两个不同的试验结果 (2)准确把握试验是什么，这是弄清试验结果及结果个数的前提,练习：下列随机事件
10、中，一次试验是指什么，它们各有几次试验？ (1)一天中，从北京开往上海的7列列车，全部正点到达； (2)抛10次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上,分析 由题目可获取以下主要信息： 给出两个随机事件；判断这两个随机事件的试验的内容和次数 解答本题可先看这两个事件的条件是什么，然后再确定它们各有几次试验 解 (1)一列列车开出，就是一次试验，共有7次试验 (2)抛一次硬币，就是一次试验，共有10次试验,题型二：求基本事件 【例2】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球 (1)写出这个试验的基本事件 (2)求这个试验的基本事件总数 (3)“至少有1个白球”这一事件
11、包含哪几个基本事件 分析：根据基本事件空间的概念，按一定的次序列举所有基本事件,解：(1)这个试验的基本事件是 (白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，红) (2)这个试验共有6个基本事件 (3)“至少有1个白球”包含以下三个基本事件：(白，白)，(白，红)，(白，黑) 评析：在列举基本事件空间时按照一定的规律来列举，做到不重不漏,一个盒子放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球号数的和为6”所包含的基本事件 解 列表表示所有的基本事件,所以“所得两球号
12、数的和为6”所包含的基本事件有(1、5)，(2、4)，(3、3)，(4、2)，(5、1),【例3】 (一题多变)1个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，从中任取两球，取后不放回 (1)写出这个试验的基本事件； (2)求这个试验的基本事件总数； (3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件 分析：取后不放回，按序写出基本事件,解：(1)记t取出的球的标号为i，则这个试验的基本事件(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5) (2)基本事件的总数是6. (3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5) 评析：基本事件
13、空间是由所有的基本事件形成的集合，而不是部分,袋中有红、白、黄、黑颜色不同，大小相同的四个小球 (1)从中任取二球； (2)先后各取一球 分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件的总数 解析 重点是弄清一次试验的条件和结果,解 (1)一次取两球，如记红，白代表一次取出红球、白球两个，则本试验的基本事件红，白，红，黄，红，黑，白，黄，白，黑，黄，黑，基本事件的总数是6. (2)先后各取一球，如记红，白代表第一次取红球，第二次取白球，则本试验的基本事件红，白，白，红，红，黄，黄，红，红，黑，黑，红，白，黄，黄，白，白，黑，黑，白，黄，黑，黑，黄基本空间数为12.,题型三：概率概念的理解 【例4】
14、 盒中只装有4只白球、5只黑球，从中任意取出一只球 (1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？,解：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率为0. (2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率为 . (3)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然要发生，因此，这是必然事件，它的概率为1.,某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？ 解 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是1
15、0%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有10%的人能够治愈，但对于一次试验来说，其结果是随机的因此，前9个病人没有治愈是可能的，对第10个病人来说，其结果仍然是随机的，即可能治愈，也可能没有治愈,解析：由题目可获取以下主要信息： 明天降水的概率为80%； 判断明天是否一定会下雨 解答本题可从概率的概念入手 解：“明天本地降水概率为80%”是指本地降水的机会是80%，而不是本地80%的区域降水当然降水机会是一个随机事件，随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生，因此“降水概率为80%”是指降水的可能性为80%，本地不一定下雨，也不一定不下雨,试解释下面情况中概率的意义： (1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20. (2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 解 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小 (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%. (2)是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.,先后投掷两枚均匀的硬币 (1)一共可以出现多少种不同的结果？ (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ (3)出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少？ (4)有人说，“一共可能出现两枚正面两枚反面一枚正面，一枚反面这三种结果，因此出现一枚正面，一枚反面的概率是
