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1、内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知则复数A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.详解：因为，所以，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题解答复数运算问题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.2.已知集合则为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，先分别求得集合A、B，再求其交集即可.【详解】由题，因为集合集合所以为故选C【点睛】本题考查的集合的交集
2、，属于基础题.3.函数的单调递减区间是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题，先求得的导函数，再令导函数小于0，解集就是函数的减区间.【详解】由题 令，解得 所以在区间函数单调递减故选B【点睛】本题考查了导函数的应用，利用导函数求解原函数的单调性，求导是关键，属于基础题.4.已知全集则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题，可得阴影部分表示的集合为，然后求得集合的补集，再求得最后答案.【详解】由题可知，阴影部分表示的集合为 因为所以 又因为所以=故选C【点睛】本题考查了集合的交并补，分析图像是解题的关键，属于基础题.5.函数的图象的大致
3、形状是A. B. C. D. 【答案】A【解析】令x=0可得，则排除C、D；,当时，当时，故排除B，本题选择A选项.6.双曲线的离心率恰为它一条渐近线斜率的倍，则离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，先表示出离心率，在表示出斜率，根据题，可求得的值，代入公式求得离心率即可.【详解】由题，双曲线的离心率一条渐近线方程为： ，其斜率 由题，离心率恰为它一条渐近线斜率的倍，所以解得 或(舍)所以离心率故选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，掌握好性质，以及离心率和渐近线方程是解题的关键，属于较为基础题.7.函数的导数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题，
4、直接根据导函数的乘法运算法则求得结果即可.【详解】由题，函数的导数 故选C【点睛】本题考查了求导数，掌握好运算法则，以及熟记导数的公式是解题的关键，属于基础题.8.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为M是线段BP的垂直平分线上的点，所以，因为P是圆上一点，所以，所以M点的轨迹为以B,C为焦点的椭圆，所以，所以轨迹方程为.考点：本小题主要考查轨迹方程的求解.点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形，再根据标准方程求解即可.9.已知函数，则的极大值点为( )A. B. C. D
5、. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.10.已知与曲线相切，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设切点坐标为，曲线，又切点在切线上，由，解得，实数的值为故选C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程11.已知，（是自然对数的底数），则的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，易知，构
6、造函数，利用导函数求单调性，即可判断出a、b、c的大小.【详解】由题，所以构造函数 当时，所以函数在是递增的，所以所以故选A【点睛】本题考查了比较数的大小，解题的关键是能否构造出新的函数，再利用导数求单调性，属于中档题.12.设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点，满足，且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，分析易知，再根据双曲线的定义可得a、b的比值，即可求得渐近线方程.【详解】由题，可知三角形是一个等腰三角形，点在直线的投影为中点，由勾股定理可得 再根据双曲线的定义可知： 又因为，再将代入
7、整理可得 所以双曲线的渐近线方程为： 即故选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，熟悉双曲线的图像，性质，定义等知识是解题的关键，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_ .【答案】 .【解析】【分析】由题,先对复数进行化简,可得在复平面中对应的点,可求得到原点的距离.【详解】因为在复平面中对应的点为 所以到原点的距离为 故答案为【点睛】本题考查了复数的知识，化简复数是解题的关键，属于基础题.14.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P，若，则POF的面积为_【答案】2.【解析】【分析】由题，先求得焦点F的坐标，根据抛物线定义可得P的横坐
8、标，代入方程求得纵坐标，再利用面积公式可得结果.【详解】由题，因为抛物线的焦点为F，所以焦点 又因为，根据抛物线的定义可得点P的横坐标 代入可得纵坐标 所以POF的面积 故答案为2【点睛】本题考查了抛物线的知识，熟悉抛物线的定义是解题的关键，属于基础题.15.已知函数在上为单调增函数，则的取值范围为_ .【答案】.【解析】【分析】由题，先求得的导函数，由题在上为单调增函数，即导函数大于等于0恒成立，再参变分离可得a的取值.【详解】因为函数，所以 因为在上为单调增函数，所以在恒成立即在恒成立所以 故答案为【点睛】本题考查了导函数的应用，清楚知道导函数的正负和原函数单调性关系是解题的关键，技巧在于
9、利用参变分离，属于中档题目.16.斜率为直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是_【答案】.【解析】分析】由题，设出点A、B的坐标，由AB的中点为点M，可得，再利用点差法，和斜率为可求得a、b的比值，代入离心率公式即可求得答案.【详解】设直线l与椭圆的交点为 因为弦恰被点 平分，所以 由，两式相减可得： 化简可得：，因为直线l的斜率为，所以即所以离心率 故答案为【点睛】本题考查了椭圆的离心率，解题的方法为点差法(一般题目是直线与圆锥曲线相交，出现斜率和中点时就用点差法)，属于中档题目.三解答题（共6道题，共70分）17.已知函数(1)求函数的最小值；(2)解不等式.【答案】（1）5；（2）
10、【解析】试题分析：利用绝对值不等式的性质，求得函数的最小值；方法一：去掉绝对值，写成分段函数的形式，然后求解；方法二：作出函数的图象，数形结合，解不等式解析：()因为f(x)|2x1|2|x2|(2x1)2(x2)|5，所以()解法一：f(x)当x2时，由4x3，即x2；当2x时，5时，由4x38，解得x，即x，所以原不等式的解集为.解法二(图象法)：f(x)函数f(x)的图象如图所示，令f(x)8，解得x或x，所以不等式f(x)0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，即t1，t2同正. 由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程
11、和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.19.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）减 （2）【解析】【分析】（1）由题，先求得函数的导函数，利用导函数的正负求得函数的单调区间；（2）由题，易知的最大值大于等于0即可，由（1）易知的最大值，代入求解即可.【详解】（1）由题，当递增；当递减；所以的单调增区间为，单调减区间为（2）由题，因为,，即
12、由（1）可得即【点睛】本题考查了导函数的应用，求导判别单调性求最值是解题的关键，属于中档题.20.已知曲线的极坐标方程为，直线，直线以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积【答案】（1） ； ； 为参数；（2）.【解析】【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化原则直接转化即可；（2）根据极坐标的关系，求解出和，利用三角形面积公式直接求得结果.【详解】（1）直线直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：，且曲线的直角坐标方程为：即（2）曲线的极坐标方程为：当时，当时，【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化、极坐标应用问题，关键在于能够利用极坐标的求解出三角形两邻边的长度，直接求得结果.21.已知椭圆：（）的离心率为，的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.试题解析：（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.
