《2019年高考学一轮热点难点师精讲与专题23：利用正（余）弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考学一轮热点难点师精讲与专题23：利用正（余）弦定理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.基础知识回顾:1.2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1) abcsin Asin Bsin C；(2) a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C变形：cos A，cos B，cos C.3.在ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAabsinAbsinAabababab解的个数无解一解两解一解一解无
2、解4.三角形常用的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)SabsinCacsinBbcsinA.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中，B=60，点在边上，且（1）若CD=2,AD=2，求；（2）求ABC的周长的取值范围【答案】（1）423；（2）. (2)ABC中，利用正弦定理得：ABsinC=BCsinA=ACsinB=463，所以：，由于：0A120，则：lABC=22+BC+AB=22+463(sinA+sin(120-A)，=22+463(32sinA+32c
3、osA)，由于：0A120，则：30A+30150，得到：sin(A+30)(12，1，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例2】【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知在中，所对的边分别为，.（1）求的大小； （2）若sinAsinC=sin2B，求的值.【答案】（1）B=3或（2）1（2）sinAsinC=sin2B，又由余弦定理得，当时，则a2+c2-2ac=0，当时，则，=(3-1)2-4=-230，此方程无解.综上所述
4、，当且仅当B=3时，可得.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果. 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例3】在中，.（1）求证：是直角三角形；（2）若点在边上，且，求【答案】（1）见解析；（2）（2）设，则sin=277，所以sinDAC=sin(90-)=cos=217， 在中， =sincos30+cossin3
5、0， 由正弦定理得，所以【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】在ABC中，角所对的边分别为，已知且ccosA+bcosC=b.（1）判断的形状；（2）若C=6，求的面积.【答案】（1）见解析；（2）（2）由（1）知，则， 因为，所以由余弦定理，得，解得a2=8+43， 所以的面积【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】【云南省红河州2018届高三复习统一
6、检测】在中,角,的对边分别为.已知,.(1)求角；(2)若，求的面积【答案】(1)58；(2)2.（2）由（1）得,因为得 ,同理得,所以的面积 . 【点睛】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力【例6】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】在中，角，的对边分别是，若ccosA，acosC成等差数列.（1）求；（2）若，b=3，求的面积.【答案】(1)；(2).又，即.而，由，得. 方法、规律归纳:1.三角形中常见的结论 (1)ABC. (2)在ABC中，ABabsinAsinBcosAcosB.(3)任意两边之和大于第三边，任
7、意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(6)在ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60 .(7)ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断实战演练:1【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】在中，角所对的边分别为，且（1
8、）求cosA；（2）若，求的面积的最大值【答案】(1)；(2).【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围2【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）】在中，角，的对边分别为，.（1）若，求的面积；（2）若ABC的面积为，求，.【答案】(1)；(2)，c=2. 3【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体2017届高三上学期期中考试】已知中，角所对的边分别为且 （1）求角的大小；（2）若，求
9、面积的最大值。【答案】；（2） 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简即得角C的大小.(2)先证明再求ABC面积的最大值.【详解】（1） 0B180,sinB0.cosC=-12,C=120（2） 由余弦定理，得（23）2=a2+b2-2abcos120=a2+b2+ab3ab.ab4, 【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是.4【安徽省定远重点中学2018届高三5月高考模拟考试】已知中，内角所对的边分别为，其中， （1）若，求的值；（2）若边上的中线长为，求的面积.【
10、答案】(1) (2) （）由边上的中线长为，利用向量的运算和夹角公式求解，即可求解【详解】（1）依题意， ，故，所以，所以，即-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC=2sinAcosC，即sinAsinC=2sinAcosC，因为，所以，故，可得；（2）记边上的中线为CD，故，所以，结合（1）可知，解得，所以的面积.【点睛】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题5【2018年高考第二次适应与模拟】在ABC中，内角的对边分别为，且满足b+c2abc+cosB+cosC-2b2+c2-a2=0.（1）证明：b,a,c成等差数列； （2）已知的面积为，求a的值.【答案】
11、（1）见解析；（2）a=5【详解】（1）由题设b+c2abc+cosB+cosC-2b2+c2-a2=0，即 由三角形内角和定理有由正弦定理有成等差数列（2）由cosA=916得，根据，bc=24由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-258bc又由(1)得，代入得 4a2-75，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化是解题地基本方法当等式两边是关于边或关于角sinA,sinB,sinC的齐次式时，可以利用正弦定理进行边角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解6【山东省沂水县第一
12、中学2018届高三第三轮考试】在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角； （2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.【答案】(1);(2)433.【详解】（1）由acosB-C=cosA23bsinC-a，得，即，所以acosBcosC+asinBsinC-acosBcosC-sinBsinC =23bsinCcosA 即，因为，所以asinB=3bcosA.由正弦定理得，因为sinB0，所以，所以tanA=3，得. 7【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】的内角，的对边分别为，已知，cosBcosC=16. （1）求；（2）若，求的面积和周长.【答案】（1）3；（2）23，【解析
13、】分析：（1）把已知等式用正弦定理转化为角的关系，可求得，从而可得，也即得cosA（2）把及代入已知可得，再由公式求得面积，由余弦定理可求得，从而可得，得周长详解：（1）由正弦定理以及得， 又因为，所以，所以可得cos-A=cosB+C=cosBcosC-sinBsinC=-12所以，且，得 （2）将和a=3代入得，所以 由余弦定理得，即 ，所以的周长为点睛：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查两角和的余弦公式和诱导公式，在解三角形中边角关系常常用正弦定理进行相互转化，解题时可根据要求的结论确定选用什么公式，从而确定解题方法如本题求三角形面积，利用（1）的结论可选用公式，因此可先把及a代入
14、已知求出，再求面积8【河南省郑州市2018届高三第三次质量预测】在中，角的对边分别是，且3acosC=2b-3ccosA.（）求角的大小；（）若，求面积的最大值【答案】（）；（）.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。9【山西省太原市2018届高三第三次模拟考试】已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).（2）由余弦定理得，由题意可知ABC的内切圆半径为1，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即ABAC=12bc6,+，当且仅当时，ABAC的最小值为6，此时三角形ABC的面积=12bcsinA=1212sin3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.10【北京东城北京二中2018届高三上学期期中考
