《人教版七年级数学上思维特训(十五)含答案：以数轴为载体的方程问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版七年级数学上思维特训(十五)含答案：以数轴为载体的方程问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、思维特训(十五)以数轴为载体的方程问题方法点津 1如图15S1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB|ab|，或用右边的数减去左边的数为ABba.图15S12通常利用数轴上距离(路程)之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离”典题精练 类型一相遇问题1如图15S2，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数26，10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动的时间为t秒(1)用含t的式子表示点P对
2、应的数：_；用含t的式子表示点P和点C的距离：PC_(2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回点A，探究点P，Q同时运动的过程中能否相遇，若相遇，请求出相遇时t的值图15S22已知数轴上有A，B，C三点，分别表示12，5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位(1)若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(2)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位？(3)在(2)的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位时，甲调头返回，则
3、甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由3甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为0 km路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于0 km右侧；位置为负，表示汽车位于0 km左侧，位置为0，表示汽车位于0 km处(1)根据题意，填写下列表格：时间(h)035x甲车位置(km)15030乙车位置(km)70150(2)甲、乙两车能否相遇？如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请说明理由(3)甲、乙两车能否相距120 km？若能，求出两车相距120 km时的时间；若不能，请说明理由4数学问题：如
4、图15S3，在数轴上点A表示的数为20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动图15S3(1)三个动点运动t(0t5)秒时，P，Q，N三点在数轴上所表示的数分别为_，_，_(2)当QN10个单位时，求此时点P在数轴上所表示的数(3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：码头C位于A，B两码头之间，且知AC20海里，AB60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流
5、驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由类型二追及问题5动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位已知动点A，B的速度比是14.(速度单位：单位/秒)(1)求出两个动点运动的速度，并在如图15S4所示的数轴上标出A，
6、B两点从原点出发运动3秒时的位置；(2)若A，B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动点正中间？(3)在(2)中A，B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，点C立即停止运动若点C一直以20单位/秒的速度匀速运动，则点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？图15S4详解详析1解：(1)26t36t(2)点Q返回前相遇：3(t16)t，解得t24；点Q返回后相遇：3(t16)t362.解得t30.综上所述，点P，Q同时运动的过程中能相遇，相遇时
7、t的值是24或30.2解：(1)设甲、乙行驶x秒时相遇根据题意，得2x3x17，解得x3.4，23.46.8，126.85.2.答：甲、乙在数轴上表示5.2的点处相遇(2)设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位，点B距A，C两点的距离之和为7101720，点A距B，C两点的距离之和为7172420，点C距A，B两点的距离之和为17102720，故甲应位于A，B或B，C之间当甲位于A，B之间时，得2y(72y)(72y10)20，解得y2；当甲位于B，C之间时，得2y(2y7)(172y)20，解得y5.答：若甲、乙相向而行，2秒或5秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位(3)能
8、甲从点A向右运动2秒时返回，设a秒后与乙相遇此时甲、乙在数轴上对应同一点，所表示的数相同甲表示的数为12222a；乙表示的数为5323a，依据题意，得12222a5323a，解得a7，相遇点表示的数为12222a22；甲从点A向右运动5秒时返回，设b秒后与乙相遇此时甲表示的数为12252b；乙表示的数为5353b，依据题意，得12252b5353b，解得b8(不合题意，舍去)即甲从点A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为22.3解：(1)填表如下：时间(h)035x甲车位置(km)1503015015060x乙车位置(km)50701505040x(2)能相遇由题意，得15
9、060x5040x，解得x2，15060230.答：相遇时间为2 h，且位于0 km路标右侧30 km处(3)能15060x1205040x，解得x3.2；15060x1205040x，解得x0.8.答：两车相距120 km时的时间为0.8 h或3.2 h.4解：(1)205t4t408t(2)点Q，N相遇的时间为秒，点Q到点B的时间为10秒，点N到点O的时间为5秒，点N从出发到返回到点B的时间为10秒点N到点O前，点P所表示的数为205t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为408t.点Q，N相遇前，如图(a)：408t4t10，解得t2.5，此时点P所表示的数为2052.57.5；点Q，
10、N相遇后，点N到达点O前，如图(b)，4t(408t)10，解得t，此时点P所表示的数为205；点Q，N相遇后，点N到达点O后，如图(c)，点P所表示的数为205t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为8(t5)，4t8(t5)10，解得t7.5，此时点P所表示的数为2057.517.5.(3)存在由数学问题的解题经验可建立如图(d)所示的数轴，点A所表示的数为20，点C所表示的数为0，点B所表示的数为40.甲从点A出发以每秒7个单位的速度向点B运动，乙从点C出发以每秒6个单位的速度向点B运动，丙从点B出发以每秒6个单位的速度向点C运动，到达点C后立即以每秒10个单位速度返回，甲、乙、丙同时
11、出发，当甲、乙、丙都运动到点B时，运动停止甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间为秒，丙到C的时间为秒，丙从出发到返回到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，甲追上乙的时间为20秒(舍)，丙追上甲的时间为秒(舍)丙到达C前，甲所表示的数为207t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为406t.乙、丙相遇前：6t(207t)406t6t，解得t，所以甲船离B码头的距离为40(207)(海里)；甲、丙相遇前：406t(207t)6t(406t)，解得t4，所以甲船离B码头的距离为40(2074)32(海里)；甲、丙相遇后，丙到达C前：6t(207t)207t(406t)，解得t
12、，所以甲船离B码头的距离为40(207)20(海里)；甲、丙相遇后，丙到达C后：甲所表示的数为207t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10(t).6t(207t)207t10(t)，解得t(舍)综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里、32海里、20海里5解：(1)设点A的运动速度为x单位/秒，则点B的运动速度为4x单位/秒由题意得3x34x15，解得x1.所以点A的运动速度是1单位/秒，点B的运动速度是4单位/秒；A，B两点所在位置如图：(2)设y秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间由题意得y3124y，解得y.答：经过秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间(3)设B追上A需z秒，则4z1z2(3)，解得z，2064.答：C点运动的路程是64单位
