《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修1-1（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念,【自主预习】 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式: _. (2)实质:_的增量与_增量之比. (3)作用:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.,函数值,自变量,2.函数的瞬时变化率,平均变化率,某一点,3.导数的概念,f(x0),瞬时变化率,【即时小测】 1.若函数y=f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1+x,1+y),则 等于 ( ) A.4 B.4x C.4+2x D.4+2(x)2,【解析】选C.因为y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-
2、2+1=4x+2x2,所以 =4+2x.,2.质点运动规律s=t2+3,则在时间3,3+t中,相应的平均速度等于 ( ) A.6+t B.6+t+ C.3+t D.9+t 【解析】选A. 故选A.,3.质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位: s),那么该物体在2s时的瞬时速度是 ( ) A.5m/s B.6m/s C.7m/s D.8m/s,【解析】选C.因为s=s(2+t)-s(2) =(2+t)2+3(2+t)-(22+32) =(t)2+7t 所以 所以当t趋近于0时, 趋近于7.故该物体在2s时的 瞬时速度是7m/s.,4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变
3、化率是 .,【解析】 答案:-1,5.函数y=f(x)= 在x=1处的瞬时变化率为 .,【解析】因为y=f(1+x)-f(1)= 所以 所以当x趋近于0时, 趋近于-1. 故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1. 答案:-1,【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量x是否可以为任意实数,y呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量x可正、可负,但不能等于0;而y可以为任意实数.,2.若两个函数在区间x1,x2上的平均变化率都是正数,平均变化率的大小对函数的变化有什么影响? 提示:函数在区间x1,x2上的平均变化率刻画
4、函数在区间上变化的快慢,变化率越大变化越快.,【归纳总结】 1.对于平均变化率的理解 (1)y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间x1,x2上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间x1,x2上越“陡峭”,反之亦然.,2.关于平均变化率的两个意义 (1)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)所在直线的斜率. (2)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在时间段t1,t2上的平均速度,即,特别提醒:增量并不一定都是正
5、值,也可以负值,函数值的增量还可以是0,比如常数函数,其函数值的增量就是0.,探究点2 函数的瞬时变化率及导数 1.匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等吗? 提示:因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为0,所以匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等.,2.依据导数的概念,函数在某个点处一定存在瞬时变化率吗? 提示:在某一点处当自变量的改变量趋近于0,平均变化率趋近于一个常数,函数存在瞬时变化率,否则不存在.,【归纳总结】 1.对瞬时速度的两点说明 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率. (2)当t在变化中趋近于0时,比值 趋近于一个确 定的常数,此常数称为t0时刻的瞬时速度.,2.函数f(
6、x)在x0处的导数 (1)当x0时,比值 的极限存在,则f(x)在点x0处 可导;若 的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无 导数. (2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f(x0)= 或f(x0)=,【拓展延伸】平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化 的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢. (2)联系:当x趋于0时,平均变化率 趋于一个常 数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.,特别提醒:“x无限趋近于0”的含义: x趋于0的距离要多近有多近,即|x-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终x0.,类型一
7、求函数的平均变化率 【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在2,2.1 这段时间内的平均速度是 ( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 2.求函数y=f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取 x都为 ,哪一点附近的平均变化率最大?,【解题探究】1.典例1中,位移与时间的改变量分别是什么? 提示:位移的改变量是s=(3+22.1)-(3+22)=0.2,时间的改变量是t=2.1-2=0.1. 2.典例2中,函数值的改变量y的表达式是什么? 提示:y的表达式是f(x0+x)-f(x0).,【解析】1.选B.因为s=(3+22.1)-(3+22)=0.2, t=2.1-
8、2=0.1,所以 2.在x=1附近的平均变化率为 在x=2附近的平均变化率为,在x=3附近的平均变化率为 当 由于k1k2k3,所以在x=3附近的平均变化率最大.,【方法技巧】求函数y=f(x)从x0到x的平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x=x-x0. (2)求函数的改变量y=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0).,(3)求平均变化率 特别提醒:求点x0附近的平均变化率可用 的形式计算.,【变式训练】1.已知函数f(x)=x2+2x-5的图象上的一 点A(-1,-6)及邻近一点B(-1+x,-6+y),则 = . 【解析】y=f(-1+x)-f(-1)=(-1+x
9、)2+2(-1+x) -5+6=(x)2+1-2+1=(x)2,故 =x. 答案:x,2.求函数y=-2x2+5从2到2+x的平均变化率. 【解析】因为y=-2(2+x)2+5-(-222+5)=-8x- 2(x)2, 所以函数从2到2+x的平均变化率为 =-8-2x.,类型二 求瞬时速度 【典例】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t3-2表示,则此物体在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为 ( ) A.1 B.3 C.-1 D.0,【解题探究】运动物体的平均速度与瞬时速度有何联系? 提示:运动物体在某一时刻的瞬时速度是在这一时刻平均速度的极限.,【解
10、析】选B.物体在区间1,1+t上的平均速度为 因为 故此物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s.,【延伸探究】 1.试求该物体在t0时的瞬时速度.,【解析】物体在t0时的平均速度为 =3t02+3t0t+(t)2. 因为 3t02+3t0t+(t)2=3t02, 故此物体在t0时的瞬时速度为3t02m/s.,2.物体在哪一时刻的瞬时速度为27m/s?,【解析】设物体在t0时的瞬时速度为27m/s. 则由 = =3t02+3t0t+(t)2. 因为 3t02+3t0t+(t)2=3t02. 所以由3t02=27,解得t0=3,因为t00,故t0=3s, 所以物体在3s时的瞬时速度为27m/s.,【
11、方法技巧】 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量t和位移改变量s=s(t0+t)-s(t0). (2)求平均速度 (3)求瞬时速度,当t无限趋近于0时, 无限趋近于常 数v,即为瞬时速度.,2.求 (当x无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中,可把x作为一个数来参与运算. (2)求出 的表达式后,x无限趋近于0就是令x=0, 求出结果即可.,【补偿训练】一物体做初速度为0的自由落体运动,运 动方程为s= gt2(g=10m/s2,位移单位:m,时间单位:s), 求: (1)物体在t0到t0+t这段时间内的平均速度. (2)物体在t=t0时的瞬时速度.,【解析】(1)
12、物体在t0到t0+t这段时间内的位移增量 则平均速度,(2)物体在t=t0时的瞬时速度为,类型三 求函数在某点处的导数 【典例】1.(2016临沂高二检测)函数y=f(x)=2x2+4x 在x=3处的导数为 . 2.求函数y=x+ 在x=1处的导数.,【解题探究】1.典例1中当x=3时y等于什么? 提示:当x=3时,y=2(3+x)2+4(3+x)-(232+4 3)=2(x)2+16x. 2.典例2中函数在x=1处的函数改变量是什么? 提示:函数改变量是y=(1+x)+,【解析】1.因为y=2(3+x)2+4(3+x)-(232+43)=2(x)2+16x, =2x+16, 所以f(3)=
13、(2x+16)=16. 答案:16,2.因为 所以 所以 故函数y=x+ 在x=1处的导数为0.,【方法技巧】求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.,【拓展延伸】瞬时变化率的几种变形形式,【变式训练】求函数f(x)= 在x=1处的导数. 【解析】由导数的定义知,函数在x=1处的导数,【补偿训练】求函数y=x2+ax+b(a,b为常数)在x处的导数. 【解析】y=(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b) =2xx+(x)2+ax =(2x+a)x+(x)2,=2x+a+x, (2x+a+x)=2x+a, 所以f(x)=2x+a.,自我纠错 导数的定义式在解题中的应用 【典例】已知f(x0)=a,则 的值为 ( ) A.-2a B.2a C.a D.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:不能正确地把已知条件转化为平均变化率的极限, 误认为 =a.正确解答过程如下:,【解析】选B.若f(x0)=a,则 =a, 又 =2 =2 = 2f(x0)=2a.,
