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1、参数估计与假设检 验 4.1参数估计 4.2假设检验 4.1 参数估计 l4.1.1参数估计的基本概念 l4.1.2总体均值和比例的区间估计 l4.1.3必要样本容量的确定 22 4.1.1 参数估计的基本概念 总体 样本样本 算术平均数 统计量 用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator), 其取值称为 估计值（estimate) 。 同一个参数可以有多个不同的估计量。参 数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确定 的。 参数 33 点估计 l点估计: 用估计量的数值作为总体参数的估 计值。 l一个总体参数的估计量可以有多个 。例如 ，在估计总体方差时， 和 都可以作
2、为估计量。 44 点估计量的常用评价准则：无偏 性 l无偏性：估计量的数学期望与总体待估 参数的真值相等： P P( ( ) ) B B A A 无偏无偏有偏 55 点估计量的常用评价准则： 有效 性 l 在两个无偏估计量中方差较小的估 计量较为有效。 A A B B 的抽样分布 的抽样分布 P P( ( ) ) 66 估计量的常用评价准则：一致 性 l指随着样本容量的增大，估计量越来越 接近被估计的总体参数。 A A B B 较小的样本容量 较大的样本容量 P(X ) X X 77 区间估计 l根据事先确定的置信度1 - 给出总体 参数的一个估计范围。 l置信度1 - 的含义是：在同样的方法
3、 得到的所有置信区间中，有100(1- )% 的区间包含总体参数。 l抽样分布是区间估计的理论基础。 估计值(点估计) 置信下限置信上限 置信区间 88 抽样分布 Sampling Distribution l从总体中抽取一个样本量为n的随机样本 ，我们可以计算出统计量的一个值。 l如果从总体中重复抽取样本量为n的样本 ，就可以得到统计量的多个值。 l统计量的抽样分布就是这一统计量所有可 能值的概率分布。 99 抽样分布：几个要点 l抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的 分布。 l在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可 观测的（常常被假设为正态分布）。 l样本数据的统计分布是可以直接观测
4、的，最直 观的方式是直方图，可以用来对总体分布进行 检验。 l抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出， 在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数 可能完全不同于总体或样本数据的分布。 1010 抽样分布的一个演示：重复 抽样时样本均值的抽样分布 （1） 设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。 均值和方差 总体的频数分布 1 1 4 4 2 2 3 3 0 0 .1.1 .2.2 .3.3 1111 抽样分布的一个演示：重复抽 样时样本均值的抽样分布（2 ） 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样
5、本。所有样本的结果 如下表. 3,43,33,23,13 2,42,32,22,12 4,44,34,24,14 1,4 4 1,3 321 1,21,11 第二个观察值第一个 观察值 所有可能的n = 2 的样本（共16个） 1212 抽样分布的一个演示：重 复抽样时样本均值的抽样 分布（3） 各样本的均值如下表，并给出样本均值的抽样分布 x x 样本均值的抽样分布 1.01.0 0 0 .1.1 .2.2 .3.3 P ( x ) 1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5 3.53.02.52.03 3.02.52.01.52 4.03.53.02.54 2
6、.5 4 2.0 321 1.51.01 第二个观察值第一个 观察值 16个样本的均值（x） 1313 所有样本均值的均值和方差 1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n M为样本数目 1414 样本均值的抽样分布与总体分布 的比较 = 2.5 2 =1.25 总体分布 1 1 4 4 2 2 3 3 0 0 .1.1 .2.2 .3.3 抽样分布 样本均值的抽样分布 1.01.0 0 0 .1.1 .2.2 .3.3 P P ( ( x x ) ) 1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5 1515 样本均值的抽样
7、分布 = 50= 50 =10=10 X X 总体分布 n = 4 抽样分布 X n =16 一般的，当总体服从 N(,2 )时，来自该总体 的容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的 期望为，方差为2/n。即XN(,2/n)。 1616 f(Xf(X) ) X X 小样本 中心极限定理 从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量 为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近 似服从均值为、方差为2/n的正态分布。 大样本大样本( (n n 30) 30) 1717 标准误（Standard Error ） l简单随机抽样、重复抽样时，样本均 值抽样分布的标准差等于 ，这 个指标在统计
8、上称为标准误。 l统计软件在对变量进行描述统计时一 般会输出这一结果。 1818 有限总体校正系数 Finite Population Correction Factor l简单随机抽样、不重复抽样时，样本均值 抽样分布的方差略小于重复抽样的方差， 等于 l 这一系数称为有限总体校正系数 。 l当抽样比（n/N）描述统计-探索 统计量标准 误 均值27.191.8373 均值的 95% 置信区间下限25.530 上限28.852 5% 修整均值26.977 中值26.500 方差70.104 标准差8.3728 极小值9.5 极大值50.3 2626 总体比例的置信区间：例子 解：显然有 因此
9、可以用正态分布进行估计。 /2=1.645 结论：我们有90的把握认为悉尼青少年中每 天都抽烟的青少年比例在19.55%23.85%之间。 1986年对悉尼 995名青少年的 随机调查发现， 有216人每天都 抽烟。试估计悉 尼青少年中每天 都抽烟的青少年 比例的90%的置 信区间。 2727 SPSS的计算结果 l在SPSS中将 “是否吸烟”输 入为取值为1 和0的属性变 量，权数分 别为216和 779。计算这 一变量均值 的置信区间 即为比例的 置信区间。 统计 量标准误 均值.2171.01308 均值的 90% 置信区间 下限 .1956 上限 .2386 5% 修整均值.1857
10、中值.0000 方差.170 标准差.41247 极小值.00 极大值1.00 范围1.00 四分位距.00 2828 4.3 必要样本量的计算 样本量越大抽样误差越小。由于 调查成本方面的原因，在调查中我们 总是希望抽取满足误差要求的最小的 样本量。 2929 关于抽样误差的几个概念 l实际抽样误差 l抽样平均误差 l最大允许误差 3030 实际抽样误差 l样本估计值与总体真实值之间的绝对 离差称为实际抽样误差。 l由于在实践中总体参数的真实值是未 知的，因此实际抽样误差是不可知的 ； l由于样本估计值随样本而变化，因此 实际抽样误差是一个随机变量。 3131 抽样平均误差 l抽样平均误差：
11、样本均值的标准差，也就是前面 说的标准误。它反映样本均值（或比例）与总体 均值（比例）的平均差异程度。 l例如对简单随机抽样中的样本均值有： 或 （不重复抽 样） l我们通常说“抽样调查中可以对抽样误差进行控制 ”，就是指的抽样平均误差。由上面的公式可知影 响抽样误差的因素包括：总体内部的差异程度； 样本容量的大小；抽样的方式方法。 3232 最大允许误差 l最大允许误差（allowable error)：在确 定置信区间时样本均值（或样本比例） 加减的量，一般用E来表示，等于置信 区间长度的一半。在英文文献中也称为 margin of error。 l置信区间= l最大允许误差是人为确定的，
12、是调查者 在相应的置信度下可以容忍的误差水平 。 3333 如何确定必要样本量？ l必要样本量受以下几个因素的影响： l1、总体标准差。总体的变异程度越大 ，必要样本量也就越大。 l2、最大允许误差。最大允许误差越大 ，需要的样本量越小。 l3、置信度1- 。要求的置信度越高， 需要的样本量越大。 l4、抽样方式 。其它条件相同，在重复 抽样、不重复抽样；简单随机抽样与分层 抽样等不同抽样方式下要求的必要样本容 量也不同。 3434 简单随机抽样下估计总体均值时 样本容量的确定 l式中的总体方差可以通过以下方式估计： l根据历史资料确定 l通过试验性调查估计 3535 简单随机抽样下估计总体比
13、例时 样本容量的确定 l式中的总体比例可以通过以下方式估 计： l根据历史资料确定 l通过试验性调查估计 l取为0.5。 3636 不重复抽样时的必要样本量 l比重复抽样时的必要样本量要小。 l 式中n0是重复抽样时的必要样本容 量。 3737 样本量的确定（实例1） 需要多大规模的样本才能在 90% 的置 信水平上保证均值的误差在 5 之内? 前期研究表明总体标准差为 45. n Z E = 22 2 22 2 (1645) (45) (5) 219.2 220 . 向上取整 3838 样本量的确定（实例2） 一家市场调研公 司想估计某地 区有电脑的家 庭所占的比例 。该公司希望 对比例p的
14、估 计误差不超过 0.05，要求的 可靠程度为 95%，应抽多 大容量的样本 （没有可利用 的p估计值） ？ 解: 已知E=0.05，=0.05， Z/2=1.96，当未知时取为 0.5。 3939 实例3 你在美林证券公司的人力资源部工作。你计 划在员工中进行调查以求出他们的平均医疗 支出。 你希望有 95% 置信度使得样本均值 的误差在$50 以内。 过去的研究表明 约为 $400。需要多大的样本容量? n Z E = = = 22 2 22 2 (196) (400) (50) 24586246 . . 4040 4.2 假设检验 4.2.1 假设检验的基本问题 4.2.2 单个总体参数
15、的检验 4.2.3 两个总体参数的检验 4.2.1 假设检验的基本问题 l基本原理 l零假设和备择假设 l检验统计量和拒绝域 l两类错误与显著性水平 4242 实际中的假设检验问题 l假设检验: 事先作出关于总体参数、 分布形式、相互关系等的命题（假设 ），然后通过样本信息来判断该命题 是否成立（检验） 。 l产品自动生产线工作是否正常？ l某种新生产方法是否会降低产品成本？ l治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高？ l厂商声称产品质量符合标准，是否可信？ l 4343 案例 l美国劳工局公布的数字表明，1998年11月美国 的平均失业时间为14.6周。在费城市市长的要求 下进行的一项研究调查了50名失业者，平均失 业时间为15.54周。根据调查结果能否认为费城 的平均失业时间高于全国平均水平？ l澳大利亚统计局公布的2003年第一季度失业率 为6.1%。而Roy Morgan公司在调查了14656名 14岁以上的居民以后得到的失业率为7.8%。你 认为Roy Morgan的结果显著高于统计局的数字 吗？ 4444 假设检验的基本原理 l利用假设检验进行推断的基本原理是： 小概率事件在一次试验中几乎不会发生。 l如果对总体的某种假设是真实的（例如学生 上课平均出勤率
