《2019年高考一轮热点难点精讲与专题14：导数法妙解极值、最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考一轮热点难点精讲与专题14：导数法妙解极值、最值问题（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大
2、或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、知图判断函数极值【例1】【辽宁省沈阳市东北育才学
3、校2018届高三第八次模拟考试】如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 -f(x)A 有极小值，没有极大值B 有极大值，没有极小值C 至少有两个极小值和一个极大值D 至少有一个极小值和两个极大值【答案】C结合函数的图像，可以得到至少有两个极小值和一个极大值，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用函数图像解题的问题，在解题的过程中，需要认真分析，读出图中所给的相关信息，对函数求导，分析与k的关系，从而判断出函数的极值点的个数，得到结果.【例2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，可导函数在点P(x0,f(x0)处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）A h(x0)=0,x=
4、x0是的极大值点B h(x0)=0,x=x0是的极小值点C 不是的极值点D 是的极值点【答案】B类型二、正向思维：已知解析式求极值或最值【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】设函数f(x)alnxbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值【答案】；.【例4】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)xalnx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值【答案】xy20.；（2）见解析；【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(
5、x)x2lnx，f(x)1(x0)，因为f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值类型三、逆向思维：已知极值或最值求参数的值或范围【例5】【江西省南昌市2017-2018
6、学年度高三第二轮复习测试卷（四）】函数fx=13x3+ax2-2x+1在x1,2内存在极值点，则（ ）A B -12a12C 或 D 或a12【答案】A当在恒成立时，则f(1)=2a-10且，得；综上，无极值时a-12或.在在存在极值.故选A【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值. 【例6】【安徽省淮北部分校2019届高三上学期开学联考】若函数fx=x2+ax+3ex在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B -，-22 C D 【答案】C
7、类型四、函数极值与最值的综合性问题【例7】【河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二6月调研考试】已知函数，.若在处与直线相切.（1）求， 的值；（2）求在上的极值.【答案】（1）；（2）最大值为f1=-12【解析】【分析】（1）根据导数定义及切线方程的斜率，可求得参数a、b的值。（2）根据导数定义，判断函数单调性，进而可求得函数在1e,e上的极值。【详解】（1）fx=ax-2bx由函数fx在x=1处与直线y=-12相切，得f1=0f1=-12，即a-2b=0-b=-12，解得： a=1b=12（2）由（1）得： fx=lnx-12x2，定义域为此时， ，令，解得，令fx0，得所以fx
8、在1e,1上单调递增，在上单调递减，所以fx在上的极大值为f1=-12【例8】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值【答案】a2，b4，c5.；最大值为13，最小值为.所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.类型五、构造函数把不等式恒成立问题转化为求最值问题【例9】【江苏省南通市2018年高考模拟试卷（二）】已知函数fx=xklnx,kN*,gx=cx-1,cR（1）当时，若曲线与直线y=gx相切，求的值；若曲
9、线y=fx与直线y=gx有公共点，求的取值范围（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，当取得最大值时，求的值【答案】（1）1 ，；（2）1，-1.【详解】（1）解：当时，所以设切点为P(x0，y0)，则1+lnx0=cy0=x0lnx0y0=cx0-1 由得，由得代入得，所以 由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，令，当0x0；所以在上为减函数，在上为增函数；所以h(x)min=h(1)=1-c 若，则，不合；若，由知适合；若，则，又h(ec)=c+1ec-c=1ec0，所以，由零点存在性定理知在(1，ec)(0，+)上必有零点综上，c的取值范围为1，+) 所以=(a+1)2-4a0
10、，即(a-1)20，所以， 又由，两边同乘以x2得，所以当，b=-1时，也恒成立，综上，得a=1，b=-1【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想，逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：1考查了导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程2利用导数求函数的单调区间，判断单调性，已知单调性，求参数 3利用导数求函数的最值（极值），解决函数恒成立问题与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。方法、规律归纳:1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据
11、极值的定义判断是极大值还是极小值2、求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得实战演练:1【辽宁省丹东市2018年高三总复习质量测试（二）】已知函数，在处取得极值10，则A 4或-3 B 4或-11 C 4 D -3【答案】Ca=4故选C点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点（2）对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行
12、验证，舍掉不符合题意的值2【新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验】若函数有极大值，则实数的取值范围是（ ）A B 0,+ C D 【答案】Ck0时，令，解得：，时，x0时，若，时，时，时，gx在R上递增，函数一定没有极大值，综上可得只有C选项符合题意. 点睛：本题考查了函数的单调性，函数的极值与最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，有一定难度.3已知函数有两个极值点x1，则下列结论正确的是A x1+x2=1,a14 B C D 【答案】D 4【江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：函数
13、有两个极值点，等价于有两个根，换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系求解即可.详解： f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x， f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点，有两个根，设，则关于的方程有两个正根，可得，实数的取值范围是，故选B. 点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有三个：一是对于发方程的解为不做限制的题型可以直接运用判别式解答；二是已知根的符号，根据韦达定理结合判别式列不等式组求解；三是方程的解在区间上m,n的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、fm,fn的符号）的方法解答.5【山东省潍坊市2018届高三第二次高考模拟考试】已知函数f(x)=1+exx，则（ ）A f(x)有1个零点 B 在上为减函数C 的图象关于点对称 D f(x)有2个极值点【答案】B 6【河北省定州中学2018届高三下学期第一次月考】已知函数，若x=2是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）A -,e24 B C 0,2 D 2,+【答案】A【解析】分析：首先求得导函数，然后结合题意利用导函数研究函数的极值，最后利用排除法即可求得最终结果.详解：函数f(x)的定义域是(0,+)，且：fx=exx-2x3+2kx-k=ex-kx2x-2x3,x=2是函数f(x)的唯一一个极值点fx的唯一极值点，
