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1、黑龙江省大庆第一中学2019届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可解出集合，然后进行并集的运算即可【详解】，故选：【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及并集的运算，属于简单题目.2.已知，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，求出的模即可【详解】 ，故，故选：【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题3.设为正数，且，则（）A. B. C. D.
2、 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式即可求出【详解】设为正数，且，当且仅当时取等号，故选：【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题4.已知数列是等差数列，则使的的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，再由等差数列的求和公式，由此能求出使前项和成立的最小自然数的值.【详解】因为等差数列，首项，所以，由，可得，所以使前项和成立的最小自然数的值为16，故选D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于简单题目.5.已知函数是奇函数，则实数（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇
3、函数的定义得恒成立【详解】依题意： 恒成立，即即，解得故选：【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题6.设是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得a2，再由双曲线的定义可得 得到，再根据两点的位置特征得到答案【详解】如图，根据双曲线的标准方程，得，由双曲线的定义可得： 可得：过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，当是双曲线的通经时最小 解得，则故选：【点睛】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题7.我国古代数学家提出的“
4、中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【详解】由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，故由得故此数列的项数为：故选：【点睛】本题考查数列
5、模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基本知识的考查8.执行下面框图对应的程序，输出的，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及的关系最终得出选项.【详解】经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值由于，由题意，解得：，即当时，满足判断框内的条件，退出循环，输出可得判断框内应填入条件是故选：【点睛】本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找
6、出内在规律题属于基础题.9.已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法错误的是（）A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数的极小值为C. 函数在上为增函数D. 函数的值域为【答案】C【解析】【分析】对于A项，利用偶函数的定义可判断其为偶函数，从而得到其正确性；对于B项，利用导数研究其单调性，从而求得其最值，得到其正确性，同时可以得出C是错误的，对于D项，可以利用二次函数的最值来判断，从而求得结果.【详解】根据题意，依次分析选项：对于，则，函数为偶函数，其图象关于轴对称，正确；对于其导数，若解可得且当当时，则函数的极小值为正确；对于，有的结论，错误；对于，函数其值域为正确；故选：【点睛】本题考查
7、函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题10.在三棱锥中，已知 ，若四点均在球的球面上，且恰为球的直径，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出 取中点，连结则 从而，进而到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积【详解】在三棱锥中，四点均在球的球面上，且恰为球的直径， 取中点，连结，则， ，到平面的距离三棱锥的体积： 故选：【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题11.已知是函数的两个极值点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D
8、【解析】【分析】求导函数，利用的两个极值点分别是，建立不等式，利用平面区域，即可求的取值范围【详解】由题意， 的两个极值点分别是，对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为，则在处，取得最大值，此时，的最小值为点（0，4）到直线 距离的平方，但是边界值都取不到，的取值范围是.故选：【点睛】本题考查导数知识的运用，求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题12.已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由圆的切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，
9、从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为 又由点是椭圆 的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程二、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，且，则实数_【答案】1【解析】【分析】可求出根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出【详解】；故答案为：【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算14.已知直线与圆相切于点，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】
10、根据题意，分析圆的圆心与半径，又由直线与圆相于点则在直线上且与直线垂直，据此可得且解可得值，代入直线的方程即可得答案【详解】根据题意，圆即其圆心直线与圆相切于点则在直线上且与直线垂直，则有，则有，又由在直线上，则有解可得则直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题15.在正项等比数列中则_【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件得到关于的二元方程组，求解后由得到的值，即可求出公比，可得答案【详解】数列是正项等比数列，且联立得或 ，故答案为： 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题16.用表示三
11、个数中的最大值，则函数在上的最小值为_【答案】1【解析】【分析】分别画出的图象，分别求出最小值，比较即可【详解】分别画出图象，如图所示，由图可知，三条曲线相交于点（2,1），与相交于（2,1）和（4,2）两点，且当时，在上方，当时，在上方，所以有：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察和函数最值是关键三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.在中，已知角所对的边分别为且满足（
12、1）求角；（2）若，试判断的形状【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】分析】（1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得，再由解出，可得；（2）由已知及余弦定理可得： 结合已知等式可求可得利用勾股定理即可判断三角形的形状【详解】由正弦定理， 代入上式，得即得得结合为三角形的内角，可得；又，由余弦定理可得： 可得：可得： 可得为直角三角形【点睛】本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和正弦公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题18.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点（
13、1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接，取的中点，连接可证平面故而论成立；（2）设建立坐标系，利用向量求出到平面的距离，解方程得出的值，得出结论【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接分别是的中点分别是的中点，又平面，分别是的中点，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面为二面角的平面角，即以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设 则， ， 设平面的法向量为，则，令可得，到平面的距离，解得，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为且【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.已知抛物线的焦点为，直线与相交于两点（1）记直线的斜率分别为，求证：；（2）若抛物线上异于的一点到的准线的距离为，且，问：直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先设出点，联立抛物线和直线方程得方程组，化简消元得，由韦达定理可得，之后将分别用和来表示，代入整理证得结果；（2）利用题的条件，结合抛物线的定义，求得，从而求得抛物线的方程，结合第一问的结果，可得 通过直角得垂直，由向量数量积等于零来体现，最后求得或进而求得直线过的定点.【详解】
