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1、第八章 专题拓展 8.3 阅读理解型 中考数学 (福建专用) 一、选择题 1.(2014龙岩,10,4分)定义符号mina,b的含义为:当ab时,mina,b=b;当ab时,mina,b=a. 如:min1,-3=-3,min-4,-2=-4,则min-x2+1,-x的最大值是 ( ) A. B. C.2 D.0 专题检测好题精练 答案 A 在同一平面直角坐标系xOy中,画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图 所示, 设它们交于点A、B. 令-x2+1=x,即x2-x-1=0,解得x= 或 , A ,B . 观察图象可知: 当x 时,min-x2+1,-x=-x2+1,函数
2、值随x的增大而增大,其最大值为 ; 当 0)的图象过点A(4,1),得k=14=4. (2)整点个数为3. 如图, 若b0,当直线过点(1,2)时,b= , 当直线过点(1,3)时,b= , b ; 若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1, 当直线过点(5,0)时,b=- , - b-1. 综上,- b-1或 b . 思路分析 本题的第(2)问需要结合题意画图理解,寻找图象中的临界点. 解题关键 解决本题的关键是在寻找区域内除了x轴上整点的临界整点时,要注意区域是不包 含边界的. 6.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一 点,Q
3、为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的 “闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,ABC); (2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围. 解析 (1)如图1,点O到ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,ABC)=2. 图1 (2)k的取值范围为-1k1且k0. 提示: 如图1,y=kx(k0)的图象经过原点,在-1x1范围内,函数图象
4、为线段. 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(1,-1)时,k=-1, 此时d(G,ABC)=1; 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(-1,-1)时,k=1, 此时d(G,ABC)=1. -1k1. k0, -1k1且k0. (3)t的取值范围为t=4或0t4-2 或t=4+2 . 提示: T与ABC的位置关系分三种情况,如图2. T在ABC的左侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=-4; T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1, 此时0t4-2 ; T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=4+2 . 综上所述,t=-4或0t4-2 或t=4+2 . 图2 解题关键 解
5、决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离. 7.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 . 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、 是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60, 所对的圆心角为60.新区管委会想在 路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是,分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资
6、在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、 EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最 小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计) 解析 (1)5 (2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP. M是弦AB的中点, OMAB,AM= AB=12. 在R
7、tAOM中,OM= =5. (4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P为 上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别 与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF, PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长. (7分) 连接AP1,AP,AP2, 则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2= AP1=
8、 AP. (8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 设O为 所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与 相交于点P, 则AP+POAO. APAP. (9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO= = =3 km. (11分) AP= (AO-OP)= (3 -3 )=(3 -9)km. P1P2的最小值为 AP=(3 -9)km. PE+EF+FP的最小值为(3 -9)km. (12分) 思路分析
9、 (1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等 可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可 得AM= AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得 PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2= AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与 交于 点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在Rt ABO中由勾股定理求出
10、AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值. 难点分析 本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题 目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出 AP的最小值. 8.(2018江西,23,12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程: 求解体验 (1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0, 1)成中心对称的抛物线表达式是 . 抽象感悟 我们定义:对于抛物线y=ax2+bx+c(a0),以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点
11、M对称 的抛物线y,则我们又称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”. (2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0,m)的衍生抛物线为y,若这两条抛物线有交点,求m的取值范 围. 问题解决 (3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a0). 若抛物线y的衍生抛物线为y=bx2-2bx+a2(b0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点, 求a,b的值及衍生中心的坐标; 若抛物线y关于点(0,k+12)的衍生抛物线为y1,其顶点为A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为y2, 其顶点为A2;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为yn,其顶点为An;(n为正整数).求AnAn+
12、1的长 (用含n的式子表示). (备用图) 解析 (1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5). (2)易知抛物线y=-x2-2x+5的顶点坐标为(-1,6), 且点(-1,6)关于点(0,m)的对称点为(1,2m-6), 衍生抛物线的解析式为y=(x-1)2+2m-6. 由y=-(x+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y, 得x2+m-5=0,即x2=5-m. 当5-m0,即m5时,方程有解. m的取值范围为m5. (3)抛物线y=ax2+2ax-b的顶点为(-1,-a-b), 抛物线y=bx2-2bx+a2的顶点为(1,-b+a2), 由两抛物线的交点恰
13、好是它们的顶点,得a2-3a=0,a2+a+4b=0, 解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3. 抛物线y的顶点为(-1,0),抛物线y的顶点为(1,12). 两抛物线的衍生中心坐标为(0,6). y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b, y1=-a(x-1)2+2k+2+a+b,顶点A1为(1,2k+2+a+b), y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,顶点A2为(1,2k+8+a+b), yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,顶点An为(1,2k+2n2+a+b), yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,顶点An+1为(1,2k+2(n
14、+1)2+a+b), AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2. 9.(2017吉林,26,10分)函数的图象与性质拓展学习片段展示: 【问题】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-2)2- 经过原点O,与x轴的另一个交点为 A,则a= . 【操作】 将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线 剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图.直接写出图象G对应的函数解析式. 【探究】 在图中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E, F,如图.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围. 【应用】 P是图中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出PDE的面积不小于 1时m的取值范围. 解析 【问题】 把(0,0)代入y=a(x-2)2- ,得4a- =0,a= . (1分) 【操作】 当x0或x4时,y= (x-2)2- ;
