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1、13.2 不等式选讲 课时1 绝对值不等式 考纲要求 1.理解绝对值不等式的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)|ab|a|b|;(2)|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|axb|c;|axb|c;|xa|xb|c.,1绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集,(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法: |axb|c_ |axb|c_ (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解
2、,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想,caxbc,axbc或axbc,2含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数,则_|ab|_,当且仅当_时,等号成立 (2)如果a,b,c是实数,那么_,当且仅当_时,等号成立,|a|b|,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,(ab)(bc)0,1(2015山东改编)解不等式|x1|x5|2的解集 【解析】 当x1时,原不等式可化为1x(5x)2, 42,不等式恒成立,x1. 当1x5时,原不等式可化为x1(5x)2, x4,1x4, 当x5时,原不等式可化为x1(x5)2,该不等式不成立 综上,原
3、不等式的解集为(,4),2若存在实数x使|xa|x1|3成立,求实数a的取值范围 【解析】 |xa|x1|(xa)(x1)|a1|, 要使|xa|x1|3有解, 可使|a1|3,3a13,2a4.,题型一 绝对值不等式的解法 【例1】 (2015课标全国)已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0. (1)当a1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围,【方法规律】 解绝对值不等式的基本方法有: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值
4、符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解,跟踪训练1 (2016课标全国)已知函数f(x)|x1|2x3|. (1)画出yf(x)的图象;,(2)求不等式|f(x)|1的解集,【方法规律】 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式,即|a|b|ab|a|b|;(3)利用零点分区间法,题型三 绝对值不等式的综合应用 【例3】 (2017石家庄模拟)设函数f(x)|x3|x1|,xR. (1)解不等式f(x)1; (2)设函数g(x)|xa|4,且g(x)f(x)在x2,2上恒成立,求实数a的取值范围,(2)函数g(x)f
5、(x)在x2,2上恒成立, 即|xa|4|x3|x1|在x2,2上恒成立,在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示,故当x2,2时,若0a4时,则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方,g(x)f(x)在x2,2上恒成立, 求得4a0,故所求的实数a的取值范围为4,0 【方法规律】 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法,跟踪训练3 (2016课标全国)已知函数f(x)|2xa|a. (1)当a2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)|2x1|,当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围 【解析】 (1)当a2时,f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26得1x3. 因此f(x)6的解集为x|1x3,1绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法,数形结合法,构造函数法 2可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件 3不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.,