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1、Anderson 局域化的简介及相关物理图像第一小组1958 年安德森（P.W. Anderson）在其著名文章“某些无序晶格中扩散的消失”中讨论了无序晶体中电子的运动，提出了强无序体系中电子局域化的新的概念，使人们认识到无序体系有本质上新的行为，并不能纳入原有的理论框架，人们开始用新的眼光审视无序的影响。研究工作除物质的电子结构外，还扩展到其他领域，无序的物理逐渐成为凝聚态物理中人们关注的一个主题。一、扩展态与局域态扩展态：具有严格周期性格点排列的晶体，电子运动是公有化的，其 Bloch 波函数扩展在整个晶体中，这种态被称为扩展态。局域态：如果存在随机的无序杂质，晶格的周期性被破坏，此时电子
2、波函数不再扩展在整个晶体中，而是局域在杂质周围，在空间中按指数形式衰减，这种态称为局域态。1、无序导致的局域在理想的周期系统中，电子的本征态是扩展的，是有确定波矢的布洛赫波，在晶体各元胞的等价点上有相同的概率幅。少量杂质的存在使电子受到辐射，产生能量相同的本征态之间的跃迁，经平均自由程 的长度相位有无规的改变（图 1（a） ） 。但此时，波函数还l是扩展的，范围仅受样品边界的限制。这里，扩展态的概念已有所推广，除布洛赫态外，还包括 在空间可有相当明显的起伏变化的一类。无序的增强，仅使平均自由程变短，2因而电导率下降，这是我们原有的物理图像。在这方面，新的认识主要有二，其一是电子经弹性散射，相位
3、有确定的改变，当然，改变量依不同的散射而异。在这种意义下，电子保持着相位的记忆。这将在下文中讨论。其二，如无序足够强时，波函数可以是局域的，波函数的包络随距离的增加指数衰减（图 1（b） ） ，则)/exp()(0rr（1）其中，r 0 是局域态的中心位置，对于宏观均匀的无序体系，r 0 在空间应有均匀的分布；称为局域化长度（ localization length） 。由于不同的局域态应彼此正交，波函数本身如图1(b)所示，仍是起伏振荡的。这是 1958 年安德森最早指出的。图 1、 （a）平均自由程为 的扩展态波函数示意；l（b）局域化长度为 的局域态波函数示意二、Anderson 局域假
4、定有一周期势如图二（a）所示，每个原子由一方势阱表示并只有一个价电子，在孤子原子极限下占据在图中原子势阱处水平短线表示的束缚能级 上。在晶体中，这一原子能级因波函数的交叠关联展宽成宽度为 B 的能带。无序可以两种形式引人，一种是每一格点相对于平衡位置有一无规偏移，另一种是原子位置保持在格点上，势阱的深度、因为束缚能级 从一个格点到另一个格点无规变化（图 2（b） ） 。安德森的讨论采用后一种无序情i形。图 2、安德森局域的单电子紧束缚图像在体系的长程有序消失后，波矢 k 不再是描述电子态的好量子数，因此对无序体系电子态的研究，广泛采用紧束缚近似，从院子轨道波函数，或 Wannier 函数出发来
5、讨论。这里，取波函数 为归一化院子波函数 的线性组合，)(riRi|)(riaaiii |（2）其中 是第 i 个原子所处的位置，一般为简单，仅考虑每个原子只有一个原子能级的iR情形，且假定不同格点上的原子波函数彼此近似正交。体系的单电子哈密顿量)(2rVmhH（3）V(r)取为体系中所有原子势的综合，由于ijijTji|（4）决定 的矩阵方程为ia0)(jijii aT（5）一般取为 非 最 近 邻， 当 为 最 近 邻， 当 jiTij,0（6）对于晶态体系，我们熟习的结果是原子能级展宽为能带，带宽 ,z 是格点的最zTB2近邻数，或称为配位数。Anderson 文章所用哈密顿量为jiij
6、ii CH（7）这是根据（4）式，用二次量子化形式写出的紧束缚哈密顿量，其中 ， 分别代表ii电子在位置 i 上的产生和湮灭算符。无序是通过原子位置保持在规则排列的格点上，但势阱深度（因为束缚在该势阱中的电子能级 ）从一个格点到另一格点无规变化来引入的，i在 Anderson 模型中， 取为在某一能量间隔 W 内均匀分布的独立无规变化量，分布函数i (8)2/,01)(WP无序程度反映在 W 大小的不同上，当 ， 取常数值时，回到理想的周期场情形，i的取法与（6）式相同，当 i，j 为最近邻时取为常数 T,此外为零。ijTAnderson 文章要回答的基本问题是：无序体系中电子本征态是局域在某
7、一点附近，还是扩展到整个体系，以及这一结果与无序程度的关系。Anderson 采用的对局域化的判断标准是：假如 t=0 时刻，电子的波函数恰好是在格点 n 处的局域波函数 ，即（2）)(nRr式中 ，而所有 的 ，由于这并非哈密顿量（7）式的本征函数，1)0(tanni0)(tai它将随时间变化。求解含时薛定谔方程可得到经过时间 t 后再格点 n 上找到这个电子的几率 。如果电子态是非局域的，电子会离开格点 n，在体系中传播，有2),(tnR。如果电子态是局域的，电子波函数的振幅将随与格点 n 的距离增加指0limt数衰减，局域在其初始位置附近， ，维持有限值。0),(lim2tntRAnde
8、rson 利用格林函数方法讨论了这一本征函数随时间的变化问题，引入了一个刻画无序程度的无量纲参量 ,得到的结论是，对于三维无序体系，当 W/B 大于zTWB/某一临界值 时，无序体系中所有的本征态都是局域态， 的数值大于为 2，即c ccBW（9）由于这一问题的理论处理较为复杂，在这里不做赘述。这里给出一种有助于理解Anderson 结果，特别是有助于了解哈密顿量（7）中 和 作用的说i),(为 最 近 邻jiTij明。先看简单的两原子问题，假定两个势阱中电子的能量分别为 和 ，波函数分别为12，总波函数可写为21和21a（10）如果两个势阱相同， ，由方程（5）可解出体系有两个状态，波函数
9、和相应21 21,的能量差 分别为21E ),(21),(22211 TE21（11）所得结果中重要的启示是尽管两个势阱空间位置可能会相距甚远，以至于交叠积分很小，但处在 态的电子在每个阱处有相同的概率。21和对于 的情形，解有相近的性质，即T| TEa2,121对于 的相反情形，图像则完全不同，体系仍然有两个可能的状态，第 1|21个态，能量 接近 ，波函数 接近于 ， （10）式中系数比 。第E111|/21122 个态， .在两势阱系统的每个态中，电子基本上仅属于其中的一个阱，不22,发生电子的公有化。在大尺度的三维体系中，考虑一个小的能量范围 ，从上面的结果可2/合理的认为，如果两个最
10、近邻格点的电子能量 和 落在这一范围内，则电子为两格点所ij共有，它们是“连接”起来的。如果把体系中符合上述条件的格点都用线连接起来，则会出现一些团簇（cluster） ，在一个团簇内，电子有大致相同的概率出现在所属各个格点上。抹去团簇外的格点，可显示出波函数在空间扩展的程度。当电子能量在 和 之间2/的格点在总格点中的比例 x 小时，只能形成小的团簇，电子态是局域的。D 增大时，几个小的团簇可能会连接起来，成为大的团簇，x 增大到某一临界值 时，出现无限大的团簇，cx电子波函数是扩展的，发生从局域到非局域的变化，文献上陈这种源于无序的转变为Anderson 转变（ Anderson tran
11、sition） 。四、安德森局域的直观说明计算机模拟、声波模拟可为安德森局域的出现能提供个非常直观的说明，例如何善进（Shanjin He）和 Maynard，他们在一根绷紧的细长钢丝上，每隔 15cm 固定一个小铅块，总共 50 个，以此来模拟周期势，在钢丝的一端用横波激励并进行扫频，在另一端接收整个系统的响应，可以得到类似于能带结构的结果，在体系中得以传输的本征频率构成导通的带（pass band） ，带间有能隙存在，图 4（a）和（b）是对两个许可态沿钢丝测量各点响应的结果，给出振幅随位置的变化，明显的为扩展态，定性的与布洛赫态一致。无序可由挪动铅块位置产生，图 4（c）（g）给出铅块位置无规挪动，最大偏离在 0.02a 之内的结果，a 为周期排列的晶格常数，图中可明显的看出无序导致的局域，最局域的是（c） ，这是出现在能隙中的态。态（c）的局域化长度约为 2.2a。图 4（h）是由于相互作用导致（c） （d）混合的结果，不属于我们讨论的范围。图 4、本征态振幅作为沿钢丝位置的函数（a） ， （b）我布洛赫态， （c）（g）为 2%无序系统的本征态（h）为 c 和 d 相互作用导致的混合(引进自何善进和 J.D.Maynard，Phys ，Rev，Lett ，57（1968） ，3171)
