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1、1 第五章 矩阵的对角化 第五章 矩阵的对角化 5.1.1 特征值与特征向量 的概念与计算 特征值与特征向量 的概念与计算 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1.2 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 注: 1.特征值与特征向量的概念 注: 1.特征值与特征向量的概念 5.1.1 特征值与特征向量的概念与计算特征值与特征向量的概念与计算 (1) 特征向量特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的特征值问题是对方阵而言的 (2) 若若x是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于
2、特征值 的特征向量的特征向量, k 0, 则非零向量则非零向量kx也是矩阵也是矩阵A的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量. 0 x Axx = = 成立,则称成立,则称 为矩阵为矩阵A的一个特征值，非零向量的一个特征值，非零向量x称为矩 阵 称为矩 阵A的属于特征值的属于特征值 的特征向量，简称为特征向量 定义 的特征向量，简称为特征向量 定义5.1 设设A是是n阶方阵阶方阵, 如果存在复数如果存在复数 和和n维列向量 使得等式 维列向量 使得等式 (),kx ()() A kx= =kAx = =()kx = =0 kx 特征值特征值 对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一 5.
3、1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 13315 42420 Ax = = 13121 22 42121 xAx = = = = 13 42 A = = 例1若例1若5, = = 3 , 4 x = = ，取 则 因此是矩阵 ，取 则 因此是矩阵A的特征值，的特征值， 2, = 1 1 x = = 如果取,则有如果取,则有 2 = = 因此也是矩阵因此也是矩阵A的特征值，的特征值， 3 55 4 x = = 5 = = 3 4 x = = 是属于 的特征向量 是属于 的特征向量5 = = 是属于的特征向量是属于的特征向量2 =
4、1 1 x = = 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 1122 0k xk x+ 1122 ()A k xk x+ + 1122 k Axk Ax=+=+ 1122 ()k xk x =+=+ 1122 ()()kxkx=+=+ 的属于特征值 的特征向量.的属于特征值 的特征向量. 121 12 2 , ,k kkxk x+ + A 是是A的属于特征值的属于特征值 的线性无关特征向量，的线性无关特征向量， 21,x x 例例2 证明：对任意不全为零的 都是矩阵 证明 证明：对任意不全为零的 都是矩阵 证明:由已知由已知
5、11, Axx = = 22 Axx = 而 所以 = 而 所以 1122 k xk x+ + 是属于是属于 的特征向量的特征向量. 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 2.特征方程与特征多项式2.特征方程与特征多项式 0,0 xxAx = =0,()0 xEA x = = EA 0= = 0EA = EA = 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) A f = 它的根称为 = 它的根称为A的特征根. (特征值) 在复数域内 的特征根. (特征值) 在
6、复数域内, A有有n个特征值（可能相同）个特征值（可能相同） xAxx =, 0 ()0 xEA x =为为 为矩阵为矩阵A的特征值，的特征值，x为为A的属于特征值的属于特征值 的特征向量 是 的特征向量 是 的的n 次多项式,通常称为矩阵次多项式,通常称为矩阵A的特征多项式的特征多项式,记作 或 记作 或( ) A f ( ),f 称为称为A的特征方程的特征方程, 0,xAxx =使得 的非零解 使得 的非零解 版权归北京科技大学线性代数课程组 第 1 页，共 18 页第五章矩阵的对角化 2 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数
7、课程组 3. 3. 特征值与特征向量的求法 步骤： （ 特征值与特征向量的求法 步骤： （1） （ ） （2） 对每一特征值 ） 对每一特征值 0 12 , n r x xx ? 1 122n rn r k xk xkx + 12 (, n r k kk ? 0 ()0EA x =,求出一个基础求出一个基础 EA xAxx =, 0 ()0 xEA x =为为 为矩阵为矩阵A的特征值，的特征值，x为为A的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量 0= = 则则A的属于特征值的属于特征值 0 0的特征向量为的特征向量为: 为不全为零的任意常数为不全为零的任意常数) 的非零解的非零解 ( )0
8、 A fEA=求解求解,得得A的全部特征值的全部特征值; 解系解系 0 ()rEAr =，=，其中 计算矩阵 其中 计算矩阵A的特征多项式的特征多项式 ( )( ); A fE A= （3） 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 1 2 n a a A a = ? = ?0 0 ( )fEA= 1 2 n a a a ? ? 1 ()() n aa=?=? 1122 , nn aaa=?=? A的特征多项式的特征多项式: 所以所以A的特征值为的特征值为: 注:对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素 分析 注:对角矩阵的特征值就
9、是主对角线上的元素 分析: 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 ( ) A f EA = 31 13 + = + + = + 2 68=+=+ 1 2 = = 2 4 = = ()()20EA x= ()() 11 2 11 EA = = 1 1 1 x = = 解方阵解方阵A的特征多项式为 所以 的特征多项式为 所以,方阵方阵A有两个特征值 解齐次线性方程组 有两个特征值 解齐次线性方程组 31 13 A = = 例3 求出二阶方阵 相应的特征向量 的全部特征值和 当时 例3 求出二阶方阵 相应的特征向量 的全部特征值和
10、 当时, 1 2, = = 11 00 得基础解系得基础解系: (1) )2( 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 2 4 = = ()() 40EA x=解齐次线性方程组当时解齐次线性方程组当时, ()() 11 4 11 EA = = 11 00 2 1 1 x = = 2 , k kx k = = 0k 所以的全部特征向量是所以的全部特征向量是 2 4 = 得基础解系 = 得基础解系: 1 , k kx k = = 0k 所以的全部特征向量是所以的全部特征向量是 1 2 = = 31 13 A = = 5.1 特征值
11、与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 例4 求出三阶方阵 相应的特征向量 的全部特征值和例4 求出三阶方阵 相应的特征向量 的全部特征值和 111 131 111 A = = 解解 111 131 111 EA = = ()() 2 (1)2,= = = 2 (1) (3)11(3)(1)(1)+ 123 1,2.= = (1) 所以所以A的特征值为的特征值为: A的特征多项式为的特征多项式为 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 )2( EA 110 011 , 00
12、0 011 121 110 = = 1 1 1, 1 x = = 1 1 = = 当时当时, 得基础解系得基础解系: ( () )0EA x=解齐次线性方程组解齐次线性方程组 1( 0)kx k 是属于的全部特征向量是属于的全部特征向量 1 1 = =所以所以 111 131 111 A = = 版权归北京科技大学线性代数课程组 第 2 页，共 18 页第五章矩阵的对角化 3 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量 版权归北京科技大学线性代数课程组版权归北京科技大学线性代数课程组 111 2111 111 EA = = 1 11 0 00 , 0 00 得基础解系为：得基础解系为： 23 10 0 , 1 , 11 xx =
