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1、机械工程控制基础机械工程控制基础 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 一、引言一、引言 数学模型数学模型: :描述系统动态特性的数学表达式描述系统动态特性的数学表达式 时域数学模型：时域数学模型：微分方程 微分方程( (连续系统连续系统) ) 差分方程差分方程( (离散系统离散系统) ) 状态方程状态方程 复域数学模型：复域数学模型：传递函数传递函数( (连续系统连续系统) ) Z Z传递函数传递函数( (离散系统离散系统) ) 频域数学模型：频域数学模型：频率特性频率特性 数学建模的一般方法：数学建模的一般方法： 1. 1.分析法：分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系
2、统或元件所遵循的有关定律来建模 2. 2.实验法：实验法： 根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模 连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式： 分别为系统输出和输入分别为系统输出和输入; ; 为微分方程系数为微分方程系数 若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为分方程表示的系统为线性系统线性系统；否则，系统为；否则，系统为非线性系统非线性系统 。对线性系统，若系数为常数则为。对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统线性定常系统。 线性定常系统线性定常系统 线性时变系统线性时变系统 非线性
3、系统非线性系统 线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理 列写微分方程的一般方法：列写微分方程的一般方法： 1. 1. 确定系统的输入量和输出量。确定系统的输入量和输出量。 注意：输入量包括给定输入量和扰动量注意：输入量包括给定输入量和扰动量 2. 2. 按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。 注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。 3. 3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。消除中间变量，得到只包含
4、输入量和输出量的微分方程。 4. 4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。 二、系统微分方程二、系统微分方程 F v2v1 b F v2 v1m v2 v1 F k 质量质量 弹簧弹簧 阻尼阻尼 一）机械系统 电路元件两端电位差电路元件两端电位差v v21 21 二）电网络二）电网络 电感电感 电阻电阻 电容电容 两端相对速度两端相对速度v v21 21 例例1 1：图示机械系统：图示机械系统 m-c-km-c-k，列写微分方程。，列写微分方程。 1. 1. 明确
5、：明确： 2. 2. 牛顿第二定律牛顿第二定律 列写原始微分方程：列写原始微分方程： 3. 3. 整理：整理： 系统输入系统输入 f f ( (t t) ) 系统输出系统输出 x x( (t t) ) 例例2 2：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。 1. 1. 明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出： 输入输入 u u ( (t t ) )，输出电量，输出电量 q q 2. 2. 列写原始微分方程：列写原始微分方程： 3. 3. 消除中间变量，并整理消除中间变量，并整理 例例3 3：列写微分方程：列写微分方程 1. 1. 明确：输入明确：输入T T，输出，输出x x(
6、(t t) ) 2. 2. 微分方程：微分方程： 3. 3. 消除中间变量消除中间变量 f f、q q，并整理：，并整理： q0 例例4 4：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。 1. 1. 明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出： 输入输入u u 1 1 ，输出，输出u u 2 2 2. 2. 列写微分方程：列写微分方程： 3. 3. 消除中间变量消除中间变量 i i 1 1 、i i 2 2 ，并整理：，并整理： 例例5 5 直流电动机直流电动机 1. 1. 明确输入与输出：明确输入与输出： 输入输入u u a a 和和MM L L ，输出，输出 w w 2. 2.
7、列写原始微分方程：列写原始微分方程： 3. 3.消除中间变量，并整理：消除中间变量，并整理： 电机的反电势电机的反电势e e d d 反电势常数反电势常数k k d d 电磁力矩电磁力矩MM 电磁力矩常数电磁力矩常数k km m 得得 设平衡点设平衡点 设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型 当偏离平衡点时，有当偏离平衡点时，有 则则 增量化增量化 即有即有 1. 1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同增量化方程与实际坐标方程形式相同 2. 2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。 线性化的
8、条件：线性化的条件： 1. 1. 非线性函数是连续函数非线性函数是连续函数( (即不是本质非线性即不是本质非线性) )。 2. 2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动系统在预定工作点附近作小偏差运动 线性化的方法：线性化的方法： 1. 1. 确定预定工作点。确定预定工作点。 2. 2. 在工作点附近将非线性方程展开成在工作点附近将非线性方程展开成TaylorTaylor级数形式。级数形式。 3. 3. 忽略高阶小项。忽略高阶小项。 4. 4. 表示成增量化方程的形式。表示成增量化方程的形式。 非线性方程的线性化非线性方程的线性化 例例6 6 液压伺服机构液压伺服机构 1. 1. 明确明确 输入
9、输入 x x，输出，输出y y 2. 2. 列写原始微分方程列写原始微分方程 液压油流量液压油流量 设设 滑阀特性滑阀特性 3. 3. 非线性函数线性化：非线性函数线性化： (1) (1) 确定系统预定工作点确定系统预定工作点 (2) (2) 二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开 已略去高阶小量已略去高阶小量 例例6 6 液压伺服机构液压伺服机构 3. 3. 非线性函数线性化：非线性函数线性化： (1) (1) 确定系统预定工作点确定系统预定工作点 (2) (2) 二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开 (3) (3) 增量方程增量方程 4. 4. 代入原方程代入原方程 整理得 1. 1. 非线性项线性
10、化后微分方程是增量形式的微分方程。非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。 2. 2. 线性化的结果与系统的预定工作点有关。线性化的结果与系统的预定工作点有关。 3. 3. 非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。 线性化特点：线性化特点： 如：本例中，不同预定点的如：本例中，不同预定点的 k kq q 、 k kc c 不同不同 三、相似系统三、相似系统 数学模型形式相同数学模型形式相同 组成系统的组成系统的 物理元件不同物理元件不同 相似系统：相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。 相
11、似量：相似量： 质量元件质量元件 弹簧元件弹簧元件 阻尼元件阻尼元件 电感元件电感元件 电阻元件电阻元件 电容元件电容元件 四、系统传递函数四、系统传递函数 连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式： 在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得： 系统固有特性系统固有特性 系统与外界联系系统与外界联系 传递函数传递函数 传递函数定义：传递函数定义： 零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉 氏变换之比。氏变换之比。 传递函数特点：传递函数特点： 1. 1.传递函数是关于复变量传递函
12、数是关于复变量 s s 的复变函数，为的复变函数，为复域数学模型复域数学模型； 2. 2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递传递 函数的分子反映系统与外界的联系；函数的分子反映系统与外界的联系； 3. 3. 在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数统的传递函数 4. 4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数( (相似系统相似系统) ) 传递函数方框传递函数方框 零点：零点：影响瞬态响应曲线的形状，不影响
13、稳定性。影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。 极点：极点： 决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。 放大系数放大系数( (增益增益) )： 设阶跃信号输入设阶跃信号输入 对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。 系统的稳态输出系统的稳态输出 传递函数的零极点模型传递函数的零极点模型 微分方程的特征根微分方程的特征根 例例1 1：求图示系统的传递函数：求图示系统的传递函数 1. 1.确定系统输入与输出：确定系统输入与输出： 2. 2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：
14、 3. 3.在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换： 4. 4.消除中间变量，并整理得：消除中间变量，并整理得： 3. 3.在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换： 5. 5.传递函数传递函数 系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、 积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合 1. 比例环节 动力学方程：动力学方程： 传递函数：传递函数： 特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。 例：例：
15、 输出正比于输入 五、典型环节传递函数五、典型环节传递函数 存在储能元件和耗能元件。存在储能元件和耗能元件。 阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。 输出的导数与输出之和正比于输入输出的导数与输出之和正比于输入 动力学方程：动力学方程： 传递函数：传递函数： 特点：特点： 2. 2. 惯性环节惯性环节 例例1 1： 例例2 2： 3. 3. 微分环节微分环节 动力学方程：动力学方程： 传递函数：传递函数： 特点：特点： 一般不能单独存在一般不能单独存在 增加阻尼；增加阻尼； 强化噪声。强化噪声。 输出正比于输入的变化率输出正比于输入的变化率 例例1 1
16、：微分运算电路微分运算电路 机械液压机械液压阻尼阻尼器器缓冲，减小偏移幅度缓冲，减小偏移幅度 油缸力平衡油缸力平衡 节流阀流量节流阀流量 例例2 2： 若若TT1 1 4. 4. 积分环节积分环节 动力学方程：动力学方程： 传递函数：传递函数： 若输入单位阶跃信号若输入单位阶跃信号 x x i i ( (t t )=1)=1 , , X X i i ( ( s s )=1/)=1/ s s 特点：特点： 输出正比于输入的累积量输出正比于输入的累积量 则输出为则输出为 1). 1). 输出反映输入量的累积输出反映输入量的累积 2). 2). 输出滞后于输入输出滞后于输入, , 经过时间经过时间 T T ，输出才等于输入，输出才等于输入 3). 3). 输出具有记忆功能输出具有记忆功能 经过一段时间
