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1、用拉格朗日方程推导单自由度的系统动力学方程拉格朗日方程在理论力学课程中已经介绍过，所以推导直接给出该方程如下： ddtEkqi-Ekqi+Epqi=Fi i=1,2,n (1)式中：Ek系统的动能； Ep系统的势能； qi广义坐标，它可以完全确定机械系统运动的一组独立参数； Fi广义力，当广义坐标为一角位移时Fi为一个力矩，当广义坐标为一线位移时Fi为一力；n系统的广义坐标。单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件作回转运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。整个系统的能量和机械功均可表示为这个坐标的函数。1.系统的动能设机械系统中的第i个构件作一般平面运动，其动能
2、Eki表示为 Eki=12mivsi2+12Jsiwi2 (2)式中：mi构件i的质量； Jsi构件i相对于其质心的转动惯量； vsi构件i质心的速度； wi构件i的角速度。作平动的构件的功能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动的构件则只含第二项。机械系统全部构件的动能总和为： Ek=i=1lEki=i=1l(12mivsi2+12Jsiwi2) (3)式中l为活动构件总数。动能也可以表示为： Ek=12Jeq2 (4)式中： Je=i=1lmivsiq2+Jsiwiq2 (5)Je称为系统的等效转动惯量。这里分析的是广义坐标q的变化规律因此q（称为广义速度）是随时间变化的。2.系统的势能对刚
3、体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情况下，由构件的重量产生的势能与动能相比数值也很小，因此拉格朗日方程中的势能常常略去。3.系统的广义力设Fk（k=1,2，m）和Mj（j=1,2，n）分别为作用于机械上的外力和外力距，则这些力和力矩的功率为： P=k=1mFkUkcosk+j=1nMjwj (6)式中：wj有外力距Mj作用的构件的角速度; vk外力Fk作用点的速度； kFk与vk夹角。式中第二项符号的确定方法为：当Mj与wj同向时取正号，反向取负号。广义力的定义就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中全部力和力矩在同一时间内所作的功。因此，当广义坐标为一个角位移时
4、，广义力F为一等效力矩Me，它可以按下式计算： F=Me=k=1mFkUkcoskq+j=1nMjwjq (7)按照拉格朗日方程中的要求，将(4)表达的功能求导数得： Ekq=12Jeqq2 (8) Ekq=Jeq (9) ddtEkq=Jeq+Jeqq2 (10)将式7、式8和式10代入拉格朗日方程(1)可得到： Jeq+12Jeqq2=Me (11)这就是单自由度机械系统的动力学方程。1. 机械系统动力学简介机械动力学作为机械原理的重要组成部分，主要研究机械在运转过程中的受力，机械中各部分构件的质量和构件之间机械运动的相互关系，是现代机械设计的重要理论基础。一般来说，机械动力学的研究内容包
5、括六个方面：（1）在已知外力作用下求机械系统的真实运动规律；（2）分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力；（3）研究回转构件和机构平衡的理论和方法；（4）研究机械运转过程中能量的平衡和分配关系；（5）机械振动的分析研究；（6）机构分析和机构综合。其主要研究方向是机械在力的作用下的运动和机械在运动过程中产生的力，并且从力和相互作用的角度对机械进行设计和改进的学科。2. 机械系统动力学的前期发展人类的发展过程中，很重要的一个进步特征就是工具的使用和制造。从石器时代的各种石制工具开始，机械的形式开始发展起来。从简单的工具形式，到包含各类零件、部件的较为先进的机械，这中间的发展过程经历了不断的改进与
6、反复，也经历了在国家内部与国家之间的传播过程。机械的发展过程也经历了从人自身的体力，到利用畜力、风力和水力等，材料的类型也从自然中自有的，过渡到简单的人造材料。整个发展过程最终形成了包含动力、传动和工作等部分的完整机械。人类从石器时代进入青铜时代、铁器时代，用以吹旺炉火的鼓风器的发展起了重要作用。有足够强大的鼓风器，才能使冶金炉获得足够高的炉温，才能从矿石中炼得金属。中国在公元前1000前900年就已有了冶铸用的鼓风器，并渐从人力鼓风发展到畜力和水力鼓风。早在公元前，中国已在指南车上应用复杂的齿轮系统。古希腊已有圆柱齿轮、圆锥齿轮和蜗杆传动的记载。但是，关于齿轮传动瞬时速比与齿形的关系和齿形曲
7、线的选择，直到17世纪之后方有理论阐述。手摇把和踏板机构是曲柄连杆机构的先驱，在各文明古国都有悠久历史，但是曲柄连杆机构的形式、运动和动力的确切分析和综合，则是近代机构学的成就。近代的机械动力学，在动力以及机械结构本身来说，具有各方面的重大突破。动力在整个生产过程中占据关键地位。随着机械的改进，对于金属和矿石的需求量增加，人类开始在原有的人力和畜力的基础上，利用水力和风力对机械进行驱动，但是这也造成了很多工厂的选址的限制，并不具有很大的推广性。而后来稍晚出现的纽科门大气式蒸汽机，虽然也可以驱使一些机械，但是其燃料的利用率很低，对于燃料的需求量太大，这也使得这种蒸汽机只能应用于煤矿附近。瓦特发明
8、的具有分开的凝汽器的蒸汽机以及具有回转力的蒸汽机，不仅降低了燃料的消耗量，也很大程度上扩大了蒸汽机的应用范围。蒸汽机的发明和发展，使矿业和工业生产、铁路和航运都得以机械动力化。蒸汽机几乎是19世纪唯一的动力源。但蒸汽机及其锅炉、凝汽器、冷却水系统等体积庞大、笨重，应用很不方便。19世纪末，电力供应系统和电动机开始发展和推广。20世纪初，电动机已在工业生产中取代了蒸汽机，成为驱动各种工作机械的基本动力。生产的机械化已离不开电气化，而电气化则通过机械化才对生产发挥作用。发电站初期应用蒸汽机为原动机。20世纪初期，出现了高效率、高转速、大功率的汽轮机，也出现了适应各种水力资源的大、小功率的水轮机，促
9、进了电力供应系统的蓬勃发展。19世纪后期发明的内燃机经过逐年改进，成为轻而小、效率高、易于操纵、并可随时启动的原动机。它先被用以驱动没有电力供应的陆上工作机械，以后又用于汽车、移动机械（如拖拉机、挖掘机械等）和轮船，到20世纪中期开始用于铁路机车。蒸汽机在汽轮机和内燃机的排挤下，已不再是重要的动力机械。内燃机和以后发明的燃气涡轮发动机、喷气发动机的发展，还是飞机、航天器等成功发展的基础技术因素之一。3. 机械动力学的发展过程经典力学的创立为机械动力学的发展奠定了理论基础，两次工业革命对机械动力学提出了要求，以及机械振动学和机械动力学理论的早期发展。经典力学是机械学科中很重要的理论基础，同时也是
10、机械运动学和动力学的基础。经典力学理论体系的创立和发展，在机械动力学的发展方面做出了巨大的贡献，另一方面，机械学和机械动力学的发展直接相关的数学理论的发展也起到了极其重要的推动作用。经典力学、分析力学以及弹性力学等力学理论的进一步发展，在机械的动力以及结构发展起到了很大的促进作用。而微积分、微分方程理论、变分法、矩阵论和概率论等数学理论的发展更是将机械动力学推上了新的高度。19世纪英国数学家汉密尔顿用变分原理推导出汉密尔顿正则方程，此方程是以广义坐标和广义动量为变量，用汉密尔顿函数来表示的一阶方程组，其形式是对称的。用正则方程描述运动所形成的体系，称为汉密尔顿体系或汉密尔顿动力学，它是经典统计
11、力学的基础，又是量子力学借鉴的范例。汉密尔顿体系适用于摄动理论，例如天体力学的摄动问题，并对理解复杂力学系统运动的一般性质起重要作用。拉格朗日动力学和汉密尔顿动力学所依据的力学原理与牛顿的力学原理，在经典力学的范畴内是等价的，但它们研究的途径或方法则不相同。直接运用牛顿方程的力学体系有时称为矢量力学；拉格朗日和汉密尔顿的动力学则称为分析力学。动力学的基本内容动力学的基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学、达朗贝尔原理等。以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论，陀螺力学、外弹道学、变质量力学，以及正在发展中的多刚体系统动力学等。质点动力学有两类基本问题：
12、一是已知质点的运动，求作用于质点上的力；二是已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力；求解第二类问题时需要求解质点运动微分方程或求积分。而两次工业革命也对于机械工业和机械科学的发展，尤其是机构学和动力学的发展有很大的推动作用。第一次工业革命中蒸汽机车的发明和改进以及当时的机械发明，第二次工业革命的电气时代中的汽轮机的诞生与发明，内燃机的发明与进步，一方面既是机械动力学的发展成果，另一方面也推动了自己学科的进步。此后机械动力学的发展趋势，逐渐朝着机械和机械和运载工具的高速化和大功率化、机械的精密化、机械的轻
13、量化、机械的自动化方向发展。机械机构学和机构运动学的发展，包括了震动理论的建立和发展，其中包括了线性理论和非线性理论等。转子动力学的起步，包含刚性转子平衡技术、轴承转子系统动力学的发展也是这一时期的重要理论进步。而机构学的建立，特别是理论运动学的发展，在机构学的德国学派和俄苏学派中也有了长足的进步。在机构的演进和传动机构的演进中，凸轮机构、连杆机构、间歇运动机构的演进，齿轮传动、蜗杆传动、链传动和带传动、传动系统的复杂化都为机械动力学的发展提供了条件。第二次世界大战后科技的大发展为机械动力学的进一步发展提供了指导思想、方法和技术手段，机械工业的巨大进步向机械动力学提出了新的要求，机械动力学在纵向形成为包括建模、分析、仿真、动力学设计与控制的综合学科，在横向形成了机构动力学、机械传动动力学、转子动力学、机器人动力学、机床动力学和车辆动力学等多个分支领域。系统论、控制论、和信息论的诞生，为机械动力学的发展提供了新的指导思想、理论和方法。电子计算机的发明，以及基于计算机的数值方法的进步，为机械动力学提供了全新的技术手段和数学工具。非线性科学的诞生和
