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1、第二十九 周 抽屉原理（一）专题简析：如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2 盒饼干。如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信。如果把 3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把 x+k（k1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。 （2）如果把 mxk（xk1）个元素放到 x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意
2、区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。例题 1：某校六年级有学生 367 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把 367 个元素放到 366 个抽屉中，至少有一个抽屉中有 2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有 365 天，闰年一年有 366 天。把天数看做抽屉，共 366 个抽屉。把 367 个人分别放入 366 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
3、练习 1：1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有 2 个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3、15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？例题 2：某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有 7 种类型，把 7 种类型看成 7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有 2 人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8（个
4、）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外语 3 种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3 种。买三本的：有语文、数学和外语 1 种。3+3+1=7（种）把 7 种类型看做 7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去 8 位学生。练习 2：1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。 ，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书
5、属于同一种？3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？例题 3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的？把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有 1 副同色的，就是1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看成是 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑
6、保证有一副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9（只）答：最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的。练习 3：1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的？2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有 3 双同色的？3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出
7、多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子？例题 4：任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数，这是为什么？一个自然数除以 4 的余数只能是 0，1，2，3。如果有 2 个自然数除以 4 的余数相同，那么这两个自然数的差就是 4 的倍数。一个自然数除以 4 的余数可能是 0，1，2，3，所以，把这 4 种情况看做时个抽屉，把任意 5 个不相同的自然数看做 5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有 2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是 4 的倍数。所以，任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数。练习 4：1、任意 6 个不相同的自然
8、数，其中至少有两个数的差是 5 的倍数，这是为什么？2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数？3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为 n 的倍数。例题 5：能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线 AD、BC 上的各个数的和互不相同？由图 29-1 可知：所有空格中只能填写 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每条对角线上的5 个数的和最小是 15=5，最大是 35=15。从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值，把这 11 个值看承 11 个抽屉，把每
9、行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的 5 个数的和最小是 5，最大是 15，从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值。而 5 行、5 列及两条对角线上的各个数的和共有 12 个，所以，这 12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习 5：1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2、证明在 88 的方格表的每个空格中，分别填上 3，4，5 这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少
10、有两个和是相同的。3、在 39 的方格图中（如图 29-2 所示） ，将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？答案：练 11、 1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉，把 370 个人放入 366 个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天的。2、 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 个抽屉，把 30 名学生放入 29 个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。3、 一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，把 15 个小朋友放入
11、12 个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出生。练 21、 买书的类型中买一本的有 4 种，买二本的有 6 种，买三本的有 4 种，买 4 本的有一种，共有 4+6+4+115 种情况。把种 15 种情况看出 15 个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去 16 位学生。2、 从三周图书种任意借 2 本，只有 6 种情况。要保证有两个所借的图书属于同一种，至少要 7 个学生。3、 玻璃珠子的颜色有三种，要保证有 2 个同色，最少应取出 4 只珠子。练 31、 思路同例 3，最少要摸出 11 只手套才能保证有 4 付同色的。2、 把三种颜色看作 3
12、个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这时拿出 1 双同色的后，3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有 3 双同色的，最少要摸 4+2+28 只袜子。3、 袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取 3 只。因此，最少要拿出 8+311 只才能保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子。练 41、 一个自然数除以 5 的余数可能是 0、1、2、3、4，把这 5 种情况看做 5 个抽屉，6 个不同的自然数放入这 5 个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这两数的
13、余数是相同的，所以它们的差一定是 5 的倍数。2、 一个自然数除以 8 的余数可能是 0、1、2、3、4、6、7，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，要保证至少有两个数的差是 8 的倍数，就要保证至少有 1 个抽屉里有两个数，根据抽屉原理，要取 9 个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数。3、 一个自然数除以 n 的余数可能是 0、1、2、3、.n1，把这 n 种情况看作 n 个抽屉，把（n+1）个自然数反复如 n 个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被 n 整除，也就是 n 的倍数。练 51、 不可能。因为每行、每列、每条对角线上的 6 个
14、数的和最小是 6，最大是 18。从 6 到18 共有 13 个不同的整数值，而 6 行、6 列及两条对角线上的各个数的和共有 14 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。2、 因为每行、每列、每条对角线上的 8 个数的和最小是 24，最大是 40。从 24 到 40 共有 17 个互不相同的整数值，而 8 行、8 列及两条对角线上的各个数的和共有 18 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。3、 每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列 3 个方格的土色就有 2228 种不同情况，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，根据抽屉原理，9 列中至少有两列的土色方式是相同的。
