《高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课件1 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课件1 新人教A版必修4（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x),如果存在一个_常数T,使得 当x取定义域内的每一个值时,都有_=f(x).这个函数的 周期为_. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的_,那么这个最小_就叫做f(x)的最小正周期. 非零 f(x+T) T 正数正数 2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数y=sin xy=cos x 周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0) 最小正周期_ 奇偶性_ 22 奇函数偶函数 1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)由于 则 是函数y=sin x的一个周期. (
2、) (2)因为 所以函数 的周期为4. ( ) (3)函数 是奇函数.( ) (4)10是函数y=sin x的一个周期.( ) 【解析】(1)错误.因为对于函数y=f(x),使y=f(x+T)=f(x)成立 的x必须取定义域内的每一个值才可以,即x具有任意性. (2)错误.因为 所以函数 的周期为6. (3)正确.由奇偶性定义可知此函数是奇函数. (4)正确. 因为y=sin(x10)=sin x，由周期函数的定义可 知10为函数y=sin x的一个周期. 答案：(1) (2) (3) (4) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数 的最小正周期为_. (2)函数 的最小正周期为_
3、. (3)函数 是_函数.(填“奇”或“偶”) 【解析】(1)因为 所以由周期函数的定义 可知，原函数的最小正周期为2. 答案： 2 (2)因为 所以由周期函数的 定义可知，函数 的最小正周期为8. 答案：8 (3)因为 所以此函数为偶函数. 答案：偶 【要点探究】 知识点 1 函数的周期性 1.关于函数周期的理解 (1)存在一个不等于零的常数T. (2)对于定义域内的每一个值x,都有x+T属于这个定义域. (3)满足f(x+T)=f(x). 2.对周期函数的三点说明 (1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. (2)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n
4、Z且n0) 也是f(x)的周期. (3)在周期函数y=f(x)中，若xD，则x+nTD(nZ).从而要求周期函数的定义域 一定为无限集，且无上下界. 3.对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个 正数是对x而言的,如y=sin 2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)=sin 2(x+),即是 使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数, 是对x而言的,而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=c,任一个正实数都 是它的周期,因而不存在最小正周期. 【微思考】 如果2是函数y=f(x)的一个周
5、期,那么所有2k(kZ),也是它的周期吗? 提示：不一定.当k=0时, 2k不一定是它的周期. 【即时练】 关于周期函数下列说法正确的是_. 周期函数的定义域可以是有限集； 周期函数的周期只有唯一一个； 周期函数的周期可以有无数多个； 周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得是错误 的，是正确的. 答案： 知识点 2 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 1.对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明 (1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k(kZ 且k0)都是它的周期，最小正周期为2. (2)余弦函数也是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期为2.
6、 2.正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对 称,余弦曲线关于y轴对称. (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形. 【微思考】 判断函数的奇偶性主要看几个方面？ 提示：一是看函数的定义域是否关于原点对称；二是看f(x)与f(x)的关系. 【即时练】 1.下列函数中最小正周期为 的是( ) A. B. C. D.y=sin 4x 【解析】选D. 的最小正周期为6， 和 的最小正周期为4，y=sin 4x的最小正周期为 2.试判断函数y=sin(+x)的奇偶性. 【解析】令y=f(x)，则f(x)=sin(+x)=-
7、sin x， 因为f(x)=sin(x)=(sin x)=-f(x)， f(x)的定义域为R，所以函数y=sin(+x)为奇函数. 【题型示范】 类型一 三角函数的周期问题及简单应用 【典例1】 (1)(2014邯郸高一检测)下列函数是以为最小正周期的函数是( ) A.y=sin x B.y=sin x+2 C.y=cos 2x+2 D.y=cos 3x1 (2)求下列函数的最小正周期： 【解题探究】1.题(1)中怎样求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函数的 周期? 2.题(2)中求y=|sin x|的最小正周期应先对函数作如何处理? 【探究提示】1.对形如y=Asin(x+)
8、或y=Acos(x+)的函数可通过周期函数 定义或公式来求其周期. 2.对形如y=|sin x|的函数可去掉绝对值 号，通过作出其图象,观察得周期. 【自主解答】(1)选C.y=sin x及y=sin x+2的最小正周期为 2，y=cos 2x+2的最小正周期为，y=cos 3x1的最小正 周期为 所以选C. (2)方法一： 所以最小正周期为. 方法二： 作图如下： 观察图象可知最小正周期为. 【延伸探究】将本例(2)中的y=|sin x|改为y=sin |x|，是否还是周期函数？ 【解析】作出函数y=sin |x|的图象，如图所示： 由图象知，此函数不是周期函数. 【方法技巧】求三角函数周期
9、的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A, 是常数，A0,0)的函数， (3)观察法，即通过观 察函数图象求其周期. 【变式训练】(2014陕西高考)函数f(x)= 的最小 正周期是( ) A. B. C.2 D.4 【解题指南】直接利用余弦函数的周期公式 求出它的 最小正周期即可. 【解析】选B. 故B正确. 【补偿训练】1.(2014烟台高一检测)若f(x)是以 为周期 的函数 ， 则 =_. 【解析】 答案：-1 2.已知f(n)= (nN*)，则f(1)+f(2)+f(3)+f(100) =_. 【解析】f(1
10、)= f(2)= f(4)=cos =1， 故f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=0， 所以f(n)= (nN*)的周期为8， 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1. 答案：1 类型二 三角函数奇偶性的判定 【典例2】 (1)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=sin|x| B.y=sin 2x C.y=sin x Dy=sin x+1 (2)(2014沧州高一检测)函数y=4sin(2x+)的图象关于( ) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线 对称 (3)判断函数 的奇偶性. 【解题探究】1.题(1)中的函数应满足什
11、么条件才为偶函数？ 2.题(2)中在判断选项前需对函数式进行怎样的处理？ 3.题(3)中如何对函数式 进行化简？ 【探究提示】1.函数y=f(x)，对于关于原点对称的定义域中的 任意x，使得f(x)=f(x). 2.利用诱导公式先对函数式化简，然后再判断. 3.可利用诱导公式将 化简为 【自主解答】(1)选A. y=sin|x|的定义域为R，且sin|-x| =sin|x|，所以为偶函数. (2)选B.因为y=4sin(2x+)=4sin 2x，所以y=4sin(2x+) 为奇函数，故图象关于原点对称. (3)因为 函数的定义域为R， 所以 所以函数 为偶函数 【方法技巧】判断函数奇偶性应把握
12、好的两个关键点 关键点一是看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二是看f(x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导 公式先将函数式化简后再判断. 【变式训练】(2014开封高一检测)判断f(x)=lg(sin x+ 的奇偶性. 【解题指南】运用函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质化简并判断. 【解析】函数的定义域为R， 因为f(x)= 所以函数 为奇函数 【补偿训练】函数f(x)=xsin(-x)的奇偶性为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】选B.函数f(x)=xsin(-x)的定义域为R， 因为f(x)=xsin(-x
13、)=xsin x, 所以f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x), 所以函数f(x)=xsin(-x)是偶函数. 类型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用 【典例3】 (1)f(x)是以2为周期的奇函数，若 则 的值为( ) A.1 B.1 C. D. (2)(2014大同高一检测)若f(x)为奇函数，当x0时， f(x)=x2sin x，求当x0时的解析式，求x0时的解析式. 【自主解答】(1)选B.因为f(x)是以2为周期的奇函数， 所以 所以 (2)当x0，f(x)=(x)2sin(x)=x2+sin x， 因为f(x)为奇函数， 所以f(x)=f(x)=x2sin x
14、， 即当x0时，f(x)=x2sin x. 【方法技巧】三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)的形式，再利用公式求解. (2)判断函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具备奇偶性，关键是看它能 否通过诱导 公式转化为y=Asin x(A0)或y=Acos x(A0)其中的一个. 【变式训练】(2014宿州高一检测)定义在R上的函数f(x)既 是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x 时，f(x)=sin x,求 的值. 【解析】因为f(x)的最小正周期为且为偶函数， 所以 【补偿训练】已
