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1、基于 Matlab 的复摆混沌行为研究 摘 要 自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线 性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌运动是非 线性动力学系统所特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的 发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学 术界的关注。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 Matlab 是一个适用于科学计算、工程设计、数值分析等领域的各种计算、演 算和仿真分析的高性能的优秀数学软件。混沌理论研究的是非线性问题，难以用 解析式表达，只能采用数值解法，而 Matlab 在这方面便可展示其强大的潜能。聞 創
2、沟燴鐺險爱氇谴净。 本论文利用了 Matlab 软件研究经典的混沌现象的特征，并且对混沌的特点以 及形成过程进行模拟分析研究；并用 Matlab 模拟了复摆运动行为及混沌现象，对 不同周期作出相图及奇怪吸引子，可以看到随着外驱动力的增加，复摆振动逐渐 由倍周期分岔走向混沌。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 关键词：混沌，Matlab，复摆，倍周期分岔，奇怪吸引子 I I THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLAB酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 ABSTRACT There are many disorders, non-equilibrium
3、, random complex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the complex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discover
4、y of relativity and quantum mechanics known as the third after the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 Matlab is a suitable for scientific computing, engineering design, numerical analysis of the various fields of computing, calculation and simulation analy
5、sis of high- quality mathematical software.Chaos theory study nonlinear system which is difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 In this thesis, a Matlab software for classical chaos
6、characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulation studies; and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving forc
7、e, pendulum vibration gradually from period-dou厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 -bling bifurcation to chaos. KEY WORDS: Chaos, Matlab,compound pendulum,bifurcation,strange attractor茕桢广 鳓鯡选块网羈泪。 II II 目 录 前 言.1鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 1.2.4 M 文件及程序调试.2籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 1.4 本章小结.5預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 第二章 混沌行为与特性.5渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 2.1 混沌理论.5铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 2.
8、1.1 简单的数学游戏 .6擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 2.1.2 “蝴蝶效应” .7贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 2.2 用 Matlab 演示混沌的基本性质 .8坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 2.2.1 用 Matlab 产生标准的混沌信号 .8蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 2.2.2 倍周期分岔通向混沌之路 .9買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 2.2.3 初值敏感性 .12綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 2.3 本章小结.13驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 第三章 用 Matlab 模拟复摆振动中的混沌行为.13猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 3.1 复摆运动模型与振动方程.14锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 3.2 复摆运动状态的模拟研究.15構
9、氽頑黉碩饨荠龈话骛。 3.2.1 无驱动力无阻尼的复摆运动 .15輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 3.2.2 无驱动力有阻尼的复摆运动 .17尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。 3.2.3 有驱动力有阻尼的复摆运动，受迫运动 19识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。 3.3 本章小结.25凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。 结 论.27恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。 参考文献.28鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。 致 谢.29硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 0 0 前 言 自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的复杂系统。混沌现象出现于非线 性系统中，它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。混沌现象是指 确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。混沌运动是非
10、线性动力学系统所 特有的复杂运动状态，是一种貌似随机的不规则运动，混沌的发现被誉为继相对 论和量子力学后的第三次物理学革命，混沌的研究一直备受学术界的关注。阌擻輳 嬪諫迁择楨秘騖。 复摆运动是大学物理中基本的力学模型之一，在教学中通常只考虑其简谐振 动的情况，内容比较单一，没有太多的研究空间。实际上，当复摆在驱动力矩及 阻尼力矩的作用下，将出现复杂的非线性运动，而且在一定的条件下可通过倍周 期分岔逐渐进入到混沌运动状态。如果将复摆的这些非线性振动特性利用计算机 模拟出来，不仅可以加深我们对复摆运动规律的认识，给我们提供一个宽阔的研 究空间，而且还有助于我们了解物理学的发展前沿，开阔我们的视野。
11、氬嚕躑竄贸恳 彈瀘颔澩。 Matlab 是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统 动态仿真等功能于一体的数学软件，具有很高的编程效率，在线性代数、矩阵分 析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到广泛应用。混沌理 论研究的是非线性问题，难以用解析式表达，只能采用数值解法，而 Matlab 在这 方面便可展示其强大的潜能。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。 本论文第一章对 Matlab 进行了简单介绍，并且详细介绍了 Matlab 的基本功 能及在物理中的简单应用，第二章从简单的数学游戏和“蝴蝶效应”入手，说明 了混沌运动主要特征及性质，并且用 Matlab 来演示其特性。第
12、三章从复摆的运动 方程出发，利用计算机进行数值求解，研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过 程。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。 1 1 3、用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程，Matlab 解常微分方程组的能力 很强而且很方便，对于我们在普通物理学中遇到的大多数动力学方程都可以用命 ode45 求解3。谚辞調担鈧谄动禪泻類。 Matlab 只能解一阶的常微分方程组，高阶的常微分方程需要转化成一阶方程 组才能求解。对于二阶常微分方程，首先需要化成显式形式( , , , )0F x x x t ，然后令，则二阶常微分方程化为两个一阶常微分( , , )xf x x t(1)yx(2)yx 方程
13、组成的方程组，从而使问题得到解决。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。 (1-1) (1) (2) (2) ( (1), (2), ) dy y dt dy f yyt dt 下一节我们将举例说明如何用命令 ode45 求解常微分方程。 1.2.4 M 文件及程序调试 由 Matlab 语句构成的程序文件称为 M 文件，它以 m 作为文件的扩展名。M 文件可分为两种：一种是主程序文件(Script File)，是由用户为解决特定的问题而 编制的；另一种是子程序文件(Function File)，它必须由其它 M 文件来调用，函数 文件往往具有一定的通用性，并且可以进行递归调用。熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。 1、主程序文件的格式特征如下： (1)用 clear，close all 等语句开始，清除工作空间原有的变量和图形，以避免 其它以执行程序残留数据对本程序的影响；鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。 (2)如果文件中有全局变量，即在子程序中与主程序的变量，应在程序的起始 部分注明； (3)整个程序应按 Matlab 标示符的要求起文件名，并加上后缀 m。 2、子程序文件的格式特征如下： (1)由 Function 起头，后跟的函数名必须与文件名相同
