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1、经济数学第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解练习811定点投篮1次，投中的概率是0.4，试用随机变量描述这一试验解，引入随机变量X，8发投篮命中的，令X1；当不中时X0，即P(X1)0.4，P(X0)10.40.6。2一次试验中，若某事件A必然产生、试用随机变量描述该现象，并指出此随机变量可能取多少个值？A出现，令X1，有P(X1)1，A不出现，令X0，有P(X0)0，X可能取1，0两个值。练习821判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布（1）X-210（2）X1234PKPK 解：作为离散型随机变量。每一概率值Pk都大于或等于零；所有可能 值的概率之和为1，即SPk1。
2、 现在第（1）情况，虽Pk0，但 。 所以不可以作为随机变量概率分布。 第（2）情况不仅Pk0，且，所以能作为离散型随机变量的概率分布。2设随机变量Y的概率分布为，k1，2，3，求P(Y1)，P(Y2)，P(3)，P(1.5y5)，P(y) 解：P(Y1)，P(Y2)P(Y3) P(1.5Y5)P(Y2)+P(Y3)； P(Y)P(Y2)+P(Y3)3气象记录表明，某地在11月份的30天中平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率 11月份下雪天的概率是，不下雪天的概率是，每次只有两种可能，要么下雪，要么不下雪，所以服从二项分布，XB(30,0.1)X表示11月份下雪天数， 解：P
3、(X3)P(X0)+P(X1)+P(X2)+P(X3) 其中不下雪的概率P(X0)0.04239 有一天下雪的概率P(X1)0.1413 有二天下雪的概率P(X2)0.22766 有三天下雪的概率P(X3)0.2361 P(X3)0.04239+0.1413+0.22766+0.23610.6474某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工的零件等原因时常停车，设各台车床停车或开车是相互独立的每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3，求（1）任一时刻车间内停车台数X的分布；（2）车间内有3台车床停车的概率；（3）任一时刻车间内车床全部工作的概率。 分析：停车概率为0.3，要么停车，要么开车，
4、遵从二项分布B(12，0.3) 解：（1）（K0，1，2，20） 或0.3K0.712-K（K0，1，20） （2）0.2397或0.330.790.2397 （3）全部工作K0即P(X0)0.01385已知随机变量Xp (l)，P(x0)0.4，求参数l，并求P(X2) 解：X遵从泊松分布P(XK)e-l（K0，1，2，） P(X0)e-le-l0.4 el2.5 lm2.50.9163 P(X1)P(X0)+P(X1)0.4+e-0.9163 0.4+0.91630.40.76652 P(X2)1-P(X1)1-0.766520.2335练习8.31判断以下函数f(x)在各自指定区间上（f
5、(x)在指定区间外取值为零）是不是 随机变量的密度函数？ （1）f(x)0.3（2）f(x)(10x-x2)0.5（3）f(x)(3x-x2)0.3 解：概率密度函数f(x)要满足（1）f(x)0；（2） （1）f(x)0但 此函数f(x)不是密度函数 （2）f(x)0（10x-x2x(10-x)当x0,5时为正） 且 是密度函数 （3）当x0,3，3x-x20且 3-21 是密度函数2设连续型随机变量X的密度函数为 （1）常数A （2）P(0X0.5) （3）P(0.25X2)解：（1） A2 函数为 （2）P(0X0.5)0.25 （3）P(0.25X2)1-0.06250.93753设连
6、续型随机变量X的密度函数为f(x)Ke-|x|（-x+）试确定常数K解： K+K2K1 4设随机变量Z在0,10服从均匀分布，（1）试写出Z的密度函数；（2）试给出密度函数的曲线；（3）试求概率P(Z3)、P(Z6)与P(3Z8)0 10Zf(Z) 1 10 解：（1）密度函数 服从均匀分布 （2） （3）P(Z3) P(Z6) P(3Z8)5某计算机的试验寿命X（单位：h）服从参数为0.001的指数分布 （1）试写出X的密度函数（2）求此计算机使用时间不超过1000小时的概率 解：（1）一般指数分布具有概率密度函数 f(x) 本题是f(x) （2）P（X1000） 练习8.41已知随机变量X
7、的概率分布为P(XK)（k2，4，18，20） 求：E(X) 解：本题是离散型随机变量，它的数学期望E(X) PkP(XK) E(X) (2+4+18+20)2在某城市观看足球比赛，出席观看的球迷人数如下：天气非常冷时，有35000人，当天气较冷时，有40000人，当天气较暖和时有48000人，当天气暖和时有60000人，若上述四种天气的概率分别为0.08，0.42，0.43，0.07，问每场比赛出席观看的球迷有多少？ 解：本题是离散型随机变量 E(X)350000.08+400000.42+480000.43+600000.07444403在射击比赛中，每人射4次（每次1发）约定全都不命中得
8、0分，只中1发得15分，中2发得30分，中3发得55分，中4发得100分，某人每次射击的命中率为0.5，问它期望得多少分？ 解：射击要么命中，要么不中，命中率为0.5，不命中的概率为1-0.50.5 遵从二项分布Pk0.5n(0.5)4-k（k0，1，2，3，4）E(X) E(X)00.500.54-0+150.510.54-1+300.520.54-2 +550.530.54-3+1000.540.54-4 (60+180+220+100)0.54354设随机变量X的密度函数为f(x) 求x的期望值 解：这是连续型随机变量 E(X)，本题为E(X) 5设随机变量X的密度为f(x)e-|x|（
9、-x+），求：E(X) 解：E(X) 6对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间a,b，求圆面积的期望值。 解：这是均匀分布密度函数 经济数学基础第三篇第8章习题详解（二）练习8.51求练习8.4第题中随机变量的方差(X) 解：练习8.4第1题已求得期望E(X)11 D(X)EX-112 亦可用D(X)E(X2)-E(x)2(22+42+82+202)112153.6-121332已知每次射击的命中率为0.6，如果进行10次射击，用X表示命中的次数， 求E(X)、D(X) 解：射击要么命中，要么不中，XB（10，0.6）即遵循二项分布 E(X)np100.66 D(X)npnp(1-p
10、)100.6(1-0.6)2.43在相同的条件下，用两种方法测量某零件的长度（单位：mm）由大量测量结果得到分布率如下表，其中p1、p2分别表示和1、2种方法的概率，试比较哪种方法的精确度较好。长度4.84.95.05.15.2p10.10.10.60.10.1p20.20.20.20.20.2 解：E(X) E(X1)4.80.1+4.90.1+5.00.6+5.10.1+5.20.15 E(X1)4.80.2+4.90.2+5.00.2+5.10.2+5.20.25 又D(X) D(X1)0.1(4.8-5.0)2+0.1(4.9-5.0)2+0.6(5.0-5.0)2+0.1(5.1-5
11、.0)2+0.1(5.2-5.0)2 0.004+0.001+0.001+0.0040.01 D(X2)0.2(4.8-5.0)2+0.2(4.9-5.0)2+0.2(5.0-5.0)2+0.2(5.1-5.0)2+0.2(5.2-5.0)2 0.008+0.002+0.002+0.0080.02 第一种方法方差小，精确度较好。4求练习8.4第4题中随机变量X的方差D(X) 解：第4题中随机变量X的密度函数为 5设随机变量X的密度为，求D(X) 解：先求E(X) 期望E(X) 则方差D(X) 练习8.61设XN(0,1)求P(1X2)，P(-1X1) 解：本题随机变量X服从标准正态分布N(0,1)则 P(1X2)f(2)f(1)0.9772-0.84130.1359 P(-1X1)f(1)- f(-1)；又f(-1)1-f(1) P(-1X2.4) 解：设 P(X2.4)PP(Y-1.867)1-f(-1.867)1-(1-f1.867) f(1.867)0.96933乘以什么常数，可使变成正态概率密度函数？ 解：首先使变成需将乘以， 又表示，故在前还要乘 ，共乘以即可。4设XN(5.4) ，求a使得 （1）P(Xa)0.01 解：（1）P(Xa)P(Y
