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1、比例线段 四条线段 a、b、c、d 中， 如果 a：b=c：d， 那么这四条线段a、b、c、d 叫做 成比例的线段， 简称比例线段. B CD A 50 25 B C D A 20 10 AB 50 BC 25 = =2， AB 20 BC 10 = =2， AB AB BC BC = . 因此，AB、BC、AB、BC是成比例线段. 已知四条线段a、b、c、d ， 如果 a c b d = ， 或 a：b=c：d， 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项， 线段 b、c 叫做比例内项， 线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项. 如果作为比例内项的是两条相同的线段
2、， 即 a b b c = ， 或 a：b=b：c， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项. 两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质. 比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质： (1)比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 因为 a：b=c：d， 即 a c b d = ， 比例的内项乘积等于外项乘积. 两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d . (1)比例的基本性质 a：b=c：d ad=bc. 特殊地说： a：b=b：c b =
3、ac. 2 综合地说： 练习11： 如果 PA PC PB PD = ，那么 PAPD= 如果 CD DF EB AD = ，那么 ADCD= 如果 AC BD EF EA = ，那么 EFBD= 如果 HE HF NF NK = ，那么 HFNF= PBPC； EBDF； ACEA； HENK； 练习12： 如果 AD PB PB BC = ，那么 ADBC= 如果 DE DF DF DC = ，那么 DEDC= 如果 SB EF EF SC = ，那么 EF2= 如果 MA NF NF MB = ，那么 NF2= PB2； DF2； SBSC； MAMB. 练习21：如果 AEBF=AFB
4、E， AE = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BFBE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BEAE AE BF BE BF AE BE 对调内项， 比例仍成立！ 练习21：如果 AEBF=AFBE， AE = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BFBE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BEAE AE BF BE BF AE BE 对调外项， 比
5、例也成立！ 说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了). a c b d = a b c d = d c b a = . 练习21：如果 AEBF=AFBE， AE = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BFBE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BEAE AE BF BE BF AE BE 说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了). a c b d = b
6、d a c = . 练习22： 如果 PAPB=PCPD， PA = ， 那么 PB = ， PC = ， PD = ； PB = ， PC = ， PD = ， PA = ， PC PD PBPD PC PB PA PD PCPD PC PA PA PB PD PA PBPD PA PB PC PB PA PC 练习23： 如果 AECF=ABAD， AE = ， 那么 CF = ， AB = ， AD = ； CF = ， AB = ， AD = ， AE = ， AB AD CFAD AB CF AE AD ABAD AB AE AE CF AD AE CFAD AE CF AB CF
7、AE AB 练习24： 如果 AC2=ABAD， AC = ，那么 AB = ； AB AD ACAC AC AD 练习25： 如果 PT2=PQPR， PT = ，那么 PQ = . PQ PR PTPT PT PR (2)合比性质 如果 a c b d = ， 那么 ab cd b d = . 练习31： 如图，已知 AC BC = ， 那么 AB DE BC EF = ， DF EF 理由： AB DE BC EF = AC DF BC EF = . AB+BC DE+EF BC EF = A B C D E F 练习32： 如图，已知 AC AB = ， 那么 AB DE BC EF
8、= ， DF DE 理由： AB DE BC EF = AB+BC DE+EF AB DE = BC EF AB DE = AC DF AB DE = . A B C D E F 练习33： 如图，已知 BC AB = ， 那么 AC DF BC EF = ， A B C D E F EF DE 理由： AC DF BC EF = ACBC DFEF BC EF = AB DE BC EF = BC EF AB DE = . 练习34： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF EA FA = ， AF AC 理由： BE CF EA FA = AE+BE AF+CF AE AF =
9、AB AC AE AF = AE AF AB AC = . A BC EF 练习35： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF AB AC = ， AF AC 理由： BE CF AB AC = AB AC BE CF = AE+BE AF+CF AE AF = AE AF BE CF = ABBE ACCF BE CF = BE CF AE AF = AE AF AB AC = . AB AC AE AF = 有没有简单方法？ 有！ A BC EF (3)等比性质 如果 那么 a c b d = m n = = (b+d+n0), a+c+m b+d+n = . a b a c b
10、 d = m n = = 证明：设=k, 则 a=bk, c=dk, m=nk, = a+c+m b+d+n bk+dk+nk b+d+n = (b+d+n)k b+d+n =k = . a b a c b d = m n = = a+c+m b+d+n = . a b ？ 练习35： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF AB AC = ， A BC EF AF AC 理由： BE CF AB AC = AC CF AB BE = AC CF AB BE = AF AC AE AB = AE AF AB AC = . AF AE AC AB = ACCF AC ABBE AB =
11、 ABBE0 x+y 5 x 3y 4 y 例1、已知 = ，求 . 解： = ， x+y 5 3y 4 x+y 15 y 4 = ， x+yy 154 y 4 = ， x 11 y 4 = . 例2、已知 a：b：c=2：5：6， 求 的值. 2a+5bc 3a2b+c 解：设 = = = k, a b c 2 5 6 则 a=2k,b=5k,c=6k, 2a+5bc 3a2b+c = 4k+25k6k 6k10k+6k = 23 2 . 例3、已知：如图， = = ， OA OB 3 OC OD 2 求：(1) ; (2) . OA AC OA+OB OC+OD O A B C D 分析：(1) OA AC OA OA+OC OA+OC OA OC OA = 2 3 . 例3、已知：如图， = = ， OA OB 3 OC OD 2 求：(1) ; (2) . OA AC OA+OB OC+OD 解：(2) OA+OB OC+OD = . 3 2 OA OB 3 OC OD 2 = = ， O A B C D 本课小结： 主要内容： 成比例线段的意义， 比例的3个主要性质及其应用. 能力要求：通过本课的学习， 形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
