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1、数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为所以本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z满足，则复数z的虚部为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.【详解】复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.3.设等差数列的前n项和为，若A. 8B. 18C. D. 14【答案】D【解析】【分析】利用和
2、表示出已知条件，解出和，利用求出结果.【详解】因为，且所以，解得所以本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米为了方便市民生活，现在ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可【详解】解：在ABC中，AB5，BC12，AC13，则ABC为直角三角形，且B为直角。则ABC的面积S，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B
3、，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180，半径为2，则对应的面积之和为S，则阴影部分的面积S ，则对应的概率P ，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为A. 8B. C. D. 4十【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出直观图，可得到四面体，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体垂直于等腰直
4、角三角形所在平面，将其放在正方体中易得该鳖臑的表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三视图还原直观图、椎体表面积的求解，属于基础题.6.在平行四边形ABCD中，若E为线段AB中点，则A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到，然后利用数量积的运算律，求解得到结果.【详解】因为平行四边形中，为线段中点所以本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积运算，关键在于能够将所求向量进行拆解，转化为已知向量的形式.7.在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为A. B. C. D.
5、【答案】B【解析】【分析】原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径.【详解】当小球与三个侧面，及底面都相切时，小球的体积最大此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球设其半径为 由题可知因此本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥的内切球问题，求解三棱锥的内切球半径通常采用体积桥的方式，利用几何体体积和表面积，得到.8.设抛物线C：的焦点为F(1，0)，过点P(1，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则A. 2B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由抛物线焦点坐标求得抛物线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线
6、方程，利用是中点列方程，求得直线的斜率.由此求得直线的方程，利用弦长公式求得弦长.【详解】由于焦点，故，抛物线方程为.设，由于直线的斜率存在且不为零，设：，由，消去，得，由为线段的中点可知，所以，所以直线的方程为，所以 .故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中档题.9.记函数在区间上单调递减时实数a的取值集合为A；不等式恒成立时实数的取值集合为B，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用二次函数对称轴求出集合，利用基本不等式求解出集合，从而得到，得到结论.【详
7、解】函数在区间上单调递减，即不等式恒成立等价于又当时，当且仅当时，即时等号成立，符合条件所以 ，即“”是“”的必要不充分条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断、恒成立问题的求解，解题关键在于能够将恒成立问题变为最值得求解，利用基本不等式求出最值，从而得到结果.10.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且，则的取值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过最小正周期得到，再通过平移得到解析式，根据是的对称轴可得，再根据的范围确定结果.【详解】函数的最小正周期为 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象又 为函数图象的一条对称轴，即，
8、又 本题正确选项：【点睛】本题考查的图象与性质，关键在于能够明确的对称轴为.11.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】将直线与双曲线渐近线联立，可求得的值；利用可得，将的值代入，可得，从而求得离心率.【详解】由题可知，则直线方程为又双曲线渐近线方程为由可解得或由可知，由题可知：，则化简得，所以【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到的齐次方程，通过方程求得离心率.12.已知的最小值为A. B. C. D. 【答
9、案】A【解析】【分析】将已知等式变为，展开可求得，利用两角和差公式可得，利用基本不等式求得的范围，从而求得的最小值.【详解】因为，即则有 即那么当即时等号成立因此，即又， 本题正确选项：【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到；求解最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，若，则A=_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到B，再由内角和定理得到结果.【详解】，根据正弦定理可得，即解得，又，故B为锐角，故故答案为
10、：【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知直线与圆相交的弦长，则_【答案】【解析】【分析】利用得到关于的方程，解方程得到结果.【详解】设圆心到直线的距离为则 又 解得本题正确结果：【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题，关键是明确截得的弦长等于，属于基础题.15.某同学手中有4张不同的“猪年画”，现要将其投放到A、B、C三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_【答案】【解析】【分析】首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果.【详解】每张“猪年画”的投放方法有种张不同的“猪年画”投放的方法总数为又由于每个箱
11、子不空，其组合为型所以投放方法有本题正确结果：【点睛】本题考查利用排列组合解决古典概型的问题，关键是在解决平均分组问题时，要注意平均分了组，需要除以来去除重复.16.已知，若函数恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过分类讨论，得到的解析式；将问题转化为与图象有两个交点的问题；分别判断出在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到的取值范围.【详解】因为，所以因为函数恰有两个不相等的零点所以直线与函数的图象共有个不同的公共点当，单调递减，所以当时，恒成立 单调递减所以当时，单调递增，所以数形结合可知，当且仅当时，直线与函数的图象有个不同的公共点，即函数恰有两个不相
12、等的零点本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围问题，关键在于能够将零点问题转化为两个函数的交点个数问题，然后根据函数的单调性得到函数图象，采用数形结合的方式求得需要的结果.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.设数列的前n项和为，若(1)求出数列的通项公式；(2)已知，数列的前n项和记为，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用，列出后与作差，可得，从而得到为等比数列，利用求出后，可得到通项公式；（2）写出的通项公式，采用裂项相消的方法可得，可知时，
13、最小且，从而证得结论.【详解】（1）因为，所以两式相减可得 ，即在中，令可得：所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）所以：所以是一个单调递增的数列当时，当时，所以【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式、裂项相消法求和，关键在于能够利用得到为等比数列；在进行数列求和时，要根据通项公式所满足的形式选取合适的方法，对于分式且分母为乘积形式的通项公式，求和时多选取裂项相消的方法.18.如图所示，底面为正方形的四棱锥PABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC与BD相交于点O，E为PD中点(1)求证：EO/平面PBC；(2)设线段BC上点F满足CF=2BF，求锐二面角EOFC的余弦值【答
14、案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线证得,进而证得平面.（2）建立空间直角坐标系后，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）因为为与交点，且是正方形，所以为中点，因为为的中点，所以，平面,平面，所以平面.（2）因为，所以,所以,所以平面，因为是正方形，所以，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,.，设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以平面的法向量可以取，所以.所以锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的22列联表，并判断是否有95的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目
