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1、解： 将n 换成（ n 1） ，就有 重复这种递推过程（ n 1）次，即得 设 则 为的特例。 由的结果，若令 则 特别地， 7 位置表象和动量表象 本节主要内容： 7-1 本正值谱和本征矢量 7-2 位置表象和动量表象 7-3 位置表象的函数形式 7-5 函数空间的性质* 7-1 本正值谱和本征矢量 （7.1） （7.2） 我们的任务是：求出本征值x和p分别可以取哪些值，以及相 应的本征矢量之间的关系。 讨论的根据是我们的原理1、原理2和原理3，其中唯一的定 量关系是原理3中的对易关系： （7.3） （7.5） 即 （7.6） （7.7） （7.8） 由上式的左矢形式 （7.9） 对于动量P
2、也可以作类似的讨论。引入算符 （7.10） （7.11） 7-2 位置表象和动量表象 （7.12） （7.13） 因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（p表象）。我们 首先讨论位置表象。 而 比较，得 这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。 （7.14） （7.15） （7.16） （7.17） （7.18） （7.19） 即 （7.20） 算符A在位置表象中的矩阵元为 （7.21） （7.22） 写成连续矩阵形式即为 （7.23） 其次看位置算符X在自己表象中的矩阵形式： （7.24） (7.25) (7.26) 动量算符P在位置表象中是一个连续矩阵，有 (7.27)
3、(7.28) (7.29) 7-3 位置表象的函数形式 （7.35） 仍从矩阵形式出发，有 于是（7.36）式在函数形式中可以写成为 （7.36） （7.37） （7.38） 对易关系仍为 （7.40） （7.39） （7.41） （7.42） 量子力学的位置表象的函数形式，就是初等量子力学一开始 所用的表示形式。 我们在讨论位置表象的函数形式的过程中，建立了一个函数 空间。这是一个实变量的复函数的空间，这个空间同抽象的希尔 伯特空间一一对应，每一个函数就是函数空间中的一个矢量，与 希尔伯特空间（单一空间）中一个矢量相对应，相对应的两个矢 量都可以描写同一个物理状态。两个空间中各有相对应的算符
4、， 它们可以描写相应的物理量。量子力学的各种关系，可以在某一 空间中讨论，也可以等价地在另一空间中讨论。 与它们想对应的算符，则写成相应的大写字母，如 三个位置算符X，Y，Z是互相对易的，它们各自有一组本征矢量： （7.43） （7.44） （7.45） （7.46） （7.47） 即是位置表象中的态函数。 若以 z 轴为极轴取极坐标，则 （7.48） （7.49） （7.50） （7.51） （7.52） 即 （7.53） （7.54） (7.57) （7.58） 分解开来，得 即 （7.59） （7.60） （7.61） 类似地，有 （7.62） （7.44） (7.63) （7.64） 7-5 函数空间的性质 函数空间是为建立位置表象的函数形式而引入的，但是， 我们发现在函数空间中的态矢量和算符，与抽象的希尔伯特空 间中态矢量和算符存在一一对应的关系。 态矢量： 算符： 本征值方程： 展开式：
