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1、初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 1 二次函数目录 1.二次函数的图象、性质和解析式 模块一 二次函数的定义 模块二 二次函数的图象和性质 模块三 二次函数的解析式 2. 二次函数的图象判断和几何变换 模块一 二次函数的图象判断 模块二 二次函数的几何变换 3.二次函数的区间最值及应用 模块一 二次函数的区间最值 模块二 二次函数的应用 4.二次函数和方程、不等式综合 模块一 二次函数和方程综合 模块二 二次函数和不等式综合 5.二次函数的线段最值和面积最值 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 1 二次函数的图象、性质和解析式 模块一：二次函数的定义模块一：二次函数的定义 1定义：一般地，形
2、如 2 yaxbxc（a，b，c 是常数，0a ）的函数，叫做二次函数其中 x 是 自变量，a，b，c 分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 注意：注意：二次函数的二次项系数0a ，而 b、c 可以为零 模块二：二次函数的图象和性质模块二：二次函数的图象和性质 1二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点 2二次函数 2 yax(0)a 的性质： （1）函数 2 yax的图象与 a 的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点； |a决定抛物线的开口大小：|a越大，抛物线开口越小；|a越小，抛物线开口越大 （2）抛物
3、线 2 yax的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是0 x （y 轴） a 的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (0, 0) y 轴 0 x 时， y 随 x 的增大而增大；0 x时， y 随 x 的 增大而减小；0 x 时，y 有最小值 0 0a 向下 (0, 0) y 轴 0 x 时， y 随 x 的增大而减小；0 x时， y 随 x 的 增大而增大；0 x 时，y 有最大值 0 3二次函数 2 (0)yaxc a的性质： a 的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (0, c) y 轴 0 x 时， y 随 x 的增大而增大；0 x时， y
4、 随 x 的 增大而减小；0 x 时，y 有最小值 c 0a 向下 (0, c) y 轴 0 x 时， y 随 x 的增大而减小；0 x时， y 随 x 的 增大而增大；0 x 时，y 有最大值 c 4二次函数 2 ()ya xhk(0a )的性质： a 的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 （h， k） x=h xh时，y 随 x 的增大而增大；xh时，y 随 x 的增大而减小；xh时，y 有最小值 k 0a 向下 （h， k） x=h xh时，y 随 x 的增大而减小；xh时，y 随 x 的增大而增大；xh时，y 有最大值 k 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 2
5、 5二次函数的性质： 配方：二次函数 a 的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） 2 b x a 时，y 随 x 的增大而增大； 时，y 随 x 的增大而减小； 时，y 有最小值 向下 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） 2 b x a 2 b x a 时，y 随 x 的增大而减小； 2 b x a 时，y 随 x 的增大而增大； 2 b x a 时，y 有最大值 2 4 4 acb a 注意：注意：二次函数 2 yaxbxc与坐标轴的交点： （1）与 y 轴的交点：(0, ) c； （2）与 x 轴的交点：使方程 2
6、0axbxc成立的 x 值 模块三：二次函数的解析式模块三：二次函数的解析式 1一般式： 已知图象上三点、，可用一般式求解二次函数解析式 2顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式 3交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式 4对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式 注意：注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2） 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数
7、解析式的这 三种形式可以互化 2 yaxbxc (0a 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa 0a 2 b x a 2 b x a 2 b x a 2 4 4 acb a 0a 2 (0)yaxbxc a 11 ()x y， 22 ()xy， 33 ()xy， 2 ()(0)ya xhk a 12 ()()(0)ya xxxxa x 12 ()()(0)ya xxxxk a 1 (, )x k 2 (, )xk x 2 40bac 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 3 （1）在函数 2 1 31 2 yxx； 2 (32)(43) 12yxxx； 2 yaxbxc（a
8、、b、c 是常数） ； 2 20yxkx（k 为常数） ； 2 2 5 6yx x 中，y 关于 x 的二次函数是_ （填写序号） （2）当m_时，函数 2 24 (4)3 mm ymxx 是二次函数 （3）下列函数关系中，可以看作二次函数 2 yaxbxc(0)a 模型的是（ ） A圆的周长与半径之间的关系 B在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 C矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D我国人口的自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 （1）若二次函数 22 2yaxbxa（a，b 为常数）的图象如图 2-1，则 a 的值为_ （2）如图 2-2，抛物线对应
9、的解析式为 2 1 ya x， 2 2 ya x， 2 3 ya x， 2 4 ya x，将 1 a、 2 a、 3 a、 4 a从小到大排列为_ 图 2-1 图 2-2 x y O x y O 模块一 二次函数的定义 0 例题 1 模块二 二次函数的图象和性质 0 例题 2 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 4 （1）抛物线 2 23yxbx的对称轴是直线2x ，则 b 的值为_，顶点坐标为_ （2）抛物线 2 23 (0)yaxaxa a的对称轴是直线_，与 x 轴的交点为_和_ （3）二次函数 2 2(1)4yxkx的顶点在 y 轴上，则k _，若顶点在 x 轴上，则k _ （1）若点
10、 1 (2,)Ay， 2 ( 3,)By， 3 (5,)Cy三点在抛物线 2 4yxxm的图象上，则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系 是（ ） A 123 yyy B 213 yyy C 231 yyy D 321 yyy （2）已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a，当自变量 x 分别取2，3，0 时，对应的值分别为 1 y， 2 y， 3 y， 则 1 y， 2 y， 3 y的大小关系正确的是（ ） A 321 yyy B 123 yyy C 213 yyy D 312 yyy （3）已知二次函数 2 (1)1yxmx，当1x时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是_
11、（1）已知抛物线经过点( 2,7)A ，(6,7)B，(3,8)C，8D m ，则m_ （2）已知抛物线 2 21yxx经过点( , )A m n，(6, )B mn，则n _ （3） 已知点 1 ( ,5)A x， 2 (,5)B x是函数 2 3yxmx上两点， 则当 12 xxx和x _时的函数值相等 （1）已知二次函数 2 (3)1yx下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线3x ； 其图象顶点坐标为(3, 1)；当3x时，y 随 x 的增大而减小则其中说法正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （2）对于二次函数 2 23(0)yxmxm，有下列说法： 如果2
12、m，则 y 有最小值1； 如果当1x时，y 随 x 的增大而减小，则1m； 如果当1x 时的函数值与2015x 时的函数值相等，则当2016x 时的函数值为 3 其中正确的说法是_ （把你认为正确的结论的序号都填上） 例题 3 例题 4 例题 5 例题 6 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 5 （3）在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数 2 22ymxx（m 是常数，且0m）的图象可能 是 （ ） A B C D （1）已知一个二次函数的图象经过(1,0)A、(2,3)B、(3,28)C三点，求此二次函数的解析式 （2）已知一个二次函数的图象经过(0, 1)A、(1,5)B、( 1, 3)
13、C 三点，求此二次函数的解析式并把二次函 数转化成顶点式 （1）已知二次函数过点(0,1)，且顶点为( 1, 2)，求二次函数的解析式 （2）已知二次函数的顶点坐标为(2,2)，且其图象经过点(3,1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数 图象与 x 轴的交点坐标 （1）若抛物线过( 3,0)，(1,0)，且与 y 轴交点为0 4（， ），求二次函数的解析式 （2）已知二次函数 2 yaxbxc的对称轴为2x ，且经过点(1,4)、(5,0)，求二次函数的解析式 DCBA x y O x y O x y OO y x 模块三 二次函数的解析式 0 例题 7 例题 8 例题 9 初中数学提高培优课程 方法兴趣努力 6 （1）已知二次函数图象经过点(1,3)A、(0,2)B、(5,3)C三点，求此二次函数解析式 （2）已知函数 2 | 12yxx的图象与 x 轴交于相异两点 A、B，另一抛物线过 A、B，
