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1、练习4对于任意实数，试比较与的大小. 图形的变换,主要包括图形的平移、轴对称与旋转。请回忆初中阶段学习的三种变换的主要特征，回答下面的问题。来源:学*科*网Z*X*X*K 如图，菱形ABCD（图）与菱形EFGH（图）的形状、大小完全相同。如果图可以由图经过一次平移或轴对称或旋转得到，那么在三种不同变换方式下点A、B、C、D对应点分别是什么？ 图形的平移、轴对称和旋转三者之间有一定的共性，也有一定的特性。这些共性与特性在解决与图形变换有关的综合问题时，有助于探究图形中的数量、位置关系。例1 （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F是BA延长线上一点，求证：ABEADF。 来源:学。
2、科。网Z。X。X。K （2）阅读下面材料：如图2，把ABC沿直线BC平移线段BC的长度，可以变到ECD的位置；如图3，以BC所在直线为轴把ABC翻折180，可以变到DBC的位置；来源:学科网ZXXK如图4，以点A为中心，把ABC旋转180，可以变到AED的位置。像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法变成的。这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。（3）回答下列问题：在图1中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE变到ADF的位置？答： 。指出图1中线段BE与DF之间的关系。答： 。例2 已知AOB=90，在AOB的平分线OM上有一点C，
3、将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE=OC；（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明例3 如图，ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=4，DC=6，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、AC
4、D的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值复习练习1如图将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到ABCD的位置，旋转角（090）.若1=110，则= . 2 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm，A=120，则EF= cm .3如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为 。4在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形
5、ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是 。5如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）。探索BD2、CE2及DE2之间的数量关系，并说明理由。 例3 在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1
6、）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）复习练习1如图，ABC中，ACB=90，A=30，AB=16点P是斜边AB上一点过点P作PQAB，垂足为
7、P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A. B. C. D.来源:Zxxk.Com在研究直线与圆的位置关系时，我们经历了下面的操作与思考：例3 如图，已知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与O相切于点QA、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为ts（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与O相切？1如图，在ABC中，C=90，AC=3，BC=4，以C为圆心作圆，当半径为 时，C与AB相切. 例3 【问题提出】学习了三角形全等的判定
8、方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据 ，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都
9、是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若 ，则ABCDEF 4如图，RtABC中，C=90，BC=6，AC=8点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQAB于Q，交AC于点
10、H当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动（1）求证：DHQABC；（2）当BP为何值时，HDE为等腰三角形？ 例2例3【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CE边的中点，AE平分DAM。【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明。复习练习例3 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺
11、序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似. 例如，如图，ABCABC且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，因此ABC 与ABC互为顺相似；如图，ABCABC，且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相反，因此ABC 与ABC互为逆相似.kABCjABCABCABC (1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE与ABC； GHO与KFO； NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号) (2) 如图，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC的边上(不与点A、B、C重合). 过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC互为逆相似. 请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由. 7如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点来源:Z。xx。k.Com如图，已知RtABC中，ACB=90，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似
