数学史论文 复数起源对复数教学的启示

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1、北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 1 浅浅谈谈复数复数起源起源及及其其对复数教学的对复数教学的 启示启示 作者姓名：* 作者单位：数学科学学院 作者学号：20111113* 作者年级：2011 级 作者专业： 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 2 浅谈复数起源及其对复数教学设计的启示 摘 要 本论文以复数在数学史上的发现与探索为线索，浅读复数发展史，并较为完 整的将复数的产生、矛盾的解决以及近代数学家们对于复数的探索呈现出来， 从 逻辑矛盾、 逻辑推理再到几何解释等方式使数学界广泛接受复数概念。最后本文 讨论了复数发展史对于现代教学设计的相似性与启示， 认为数学史对

2、教师的作用 是不可小视的，按照数学的发展历程教学有利于学生的学习。 关键词：关键词：复数；几何解释；相似性；教学 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 3 目录目录 1.复数产生的缘起 . 4 1.1 从二次方程、三次方程求根公式到复数的崭露头角 . 5 1.2 复数在 17-19 世纪的发展 . 7 2.复数发展史与复数学习的相似性与启示 . 9 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 4 英国科学期刊物理世界曾让读者投票评选了“最伟大的公式” ，欧拉公 式（Eulers Identity）最终以仅次于麦克斯韦方程（The Maxwells Equations）的票 数获得

3、了第二名。而美国数学情报杂志曾于 1988 年刊出数学上 24 个著名的 定理，让读者给每一个定理打分，评出最美定理，第一名还是欧拉公式（Eulers Identity） 。让我们重新审视欧拉公式 这样一个简单的公式将数学中最简单也最重要的五个常数联系到了一起， 分 别是 、 、 、 和 。这五个数字中，每个数字都有其自身的发展历程，是各 自领域的“杰出代表” ：e 和 代表了无理数，1 和 0 代表了有理数，而 i 则是复 数（虚数）的代表。相比于其他四个数字，i 看起来一点也不普通，这也决定了 它的产生、发展历程也是不平凡的。 复数作为数学的根基， 已经被纳入了初等数学的必修部分，这无疑对

4、于学生 对于数学的理解是有一定帮助的。高等数学中也有复变函数， 作为数学专业的学 生学习是必不可少的。 复数的发展史对于初等数学学习， 乃至高等数学学习是否 有帮助？答案是肯定的。 1.复数复数产生的缘起产生的缘起 正像前面所说的那样，复数与其他数字一样，是数学庞大建筑的重要根基， 也同样有着自己的起源和发展。与实数不同的是，实数中，自然数可以通过人们 对于自然界的认知得出， 整数可以通过人们最初对于数学认识的加减乘除等简单 运算得出， 无理数可以通过乘法的进一步复杂深入运算乘方与开方运算得出， 然而，复数不会那么直接的产生。因此，每一个初识复数的人都会问两个问题， 第一个是“复数是怎样被发明

5、出来的” ，第二个是“既然复数在自然界中不能由 人们的认知直接得出，那么复数在人类的生产生活中到底有什么用” 。相比于应 用，产生过程往往要重要一些，耗费人们时间与经历会多一些，所以“复数为什 么会出现”这个问题就有一定研究价值。 复数的产生是数学史中的一朵奇葩， 没有专门研究过数学史的人并不会对现 代教科书中关于“复数产生于 的求解问题”或者“复数域的建立是从 一维欧式空间扩充到二位欧式平面，在二位欧氏平面 中引 入乘法运算 ， 从而扩充到了复平面” 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 5 产生任何疑问。 上述两种方法是正确的， 而特别是初等数学中对于第一种方法学 生接受得比较良

6、好。但是， 实际上历史上数学家们对于复数的探究可谓是一波三 折，虚数单位 i 被人们接受的过程并不是一帆风顺的，这都要从一场风波三 次方程求根公式说起。 1.1 从从二次方程、二次方程、三次方程求根公式到复数的崭露头角三次方程求根公式到复数的崭露头角 很多人普遍认为，对于 这个东西，如果稍加探索，我们就可以引 入虚数单位 i，从而将数域从实数扩展到复数。虽然这与中学课本中教授的方式 相同，但是史实并未如此。 对于二次方程的研究在很早就有了。古希腊数学家丢番图（Diophantus 约 246-330）在公元三世纪就对二次方程进行了系统的研究，他用配方法计算了大 量的各种各样的二次方程，在求解

7、这一类型的方程中，判别式可能 出现负数的情况，这时与求解 时遇到的情况无异，但是丢番图并没有 继续研究下去。 数学的发展并不取决于某一个人， 而取决于某一群人或者某一代 人。丢番图没有继续研究下去，这与当时的数学发展的历史背景有关，当时的数 学界还不敢承认负数的存在，更不用说承认平方根是负数，或者虚数的存在。1 二次方程的负判别式在十二世纪的印度人眼中也是毫无研究价值、 毫无意义 的。婆赛协罗（Bhaskara 1114 - 1185）用以下简短语言对这个问题做出了解释： “正数的平方，以及负数的平方，都是正的；正数的平方根为二重，一正一赴； 负数没有平方根， 因为负数不是平方数。 ” 2 1

8、484 年， 法国数学家舒开 （N.Chuquet 约 1445-1500）在算术三编指出 的根 没有意义。 这是历史上由此形式上出现负数的平方根。3在后面的很长一段时间（直到十五 世纪） ，全世界的数学家们依然是回避。 在我看来，这与当时的数学观念发展是有一定联系的。一方面来说，负数开 平方根对于实际意义来说毫无价值， 因为正数开平方可以认为是求具有某个面积 的正方形的边长， 而负数开平方已经超出了当时人们对于自然的认知，没有具体 形象的实体研究也就没有研究的意义，这与当时数学界朴实自然唯物主义有关； 另一方面，当时的人们认为只要是开平方，就一定是对正数开平方，而不是对于 负数开平方。产生负

9、数开平方的原因是人们对于数学研究的不彻底， 一些条件没 有限制。 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 6 最早不回避“负数开平方”这个问题，并将其引起数学界注意的人是意大利 文艺复兴时期的数学家、 医生、 物理学家杰罗姆 卡当 （Jerome Cardan 1501-1576） 。 卡当的一本书大术 （ Ars Magra ）中记载了由一名威尼斯数学教师塔塔里亚 成果解三次方程的一般方法。 尽管塔塔里亚对于卡当将自己的的三次方程的 解法写到大术中的做法非常气愤，卡当依然是第一个将复数形式写入书中， 不回避复数解的正确性的第一人。在大术中，出现了根号下是复数的情况， 对于一些具体的例

10、子， 最有名的则是 大术 第 37 章的一题： “分 10 为两部分， 使其积等于 40” 。对于现代数学而言，很容易有 的 结论，但是对于已经验证这两解对于方程的正确性的卡当而言， 这两个解依然是 不可接受的，他对 形式的数字依然十分怀疑。虽然怀疑，但是卡当依然是 将 形式引入数学舞台的第一个人。 （注：在大术中并没有准确给出 a+bi 的复数表现形式，甚至于并没有出现 i 这一符号，但是确实承认了 a+bi 是有一定 数学意义的。 ） 有时候某一种事物发现者并不一定是将它发扬光大的人， 就像蒸汽机，我们 并不会记得发明蒸汽机的人是谁，但是记得改良蒸汽机的瓦特， 是他将人类带入 了第一次工业

11、革命。复数的发现与发展的历程也是如此， 卡当抱着怀疑的态度提 出来了最初的复数形式，而后面的数学家才将其发扬光大，拉法耶儿 邦贝利 （Rafael Bombelli 1526-1572）就接住了卡当在复数研究方面的接力棒。 卡当的大术是一本影响力极大的数，它标志着超越欧洲所研究的伊斯兰 代数之后首次实质性的进步。4大术在知识角度有较大的跨越，但是作为一 本教材来说，其中一些繁杂甚至有些啰嗦的推理，是不合适的。邦贝利希望写一 本更加适合学生使用的教科书，因此他写了代数一本虽然数学水平不及 大术但更加通俗易懂的教科书。邦贝利的代数标志着文艺复兴时期意大 利代数的高峰。4 在代数中，邦贝利将现代虚数

12、的概念完整的给出，虽然使用的是他自己 定义的符号。他认为这些数既不是正的（piu）,也不是负的（meno） 。他以卡当 在解三次方中遇到的虚数为基础， 把现代符号中所表示的数 bi 和-bi 分别叫做 piu di meno 和 meno di meno。例如，他把 2+3i 写为 2p dim 3,2-3i 携程 2 m dim 3， 邦贝利定义了这些新 （复） 数的各种乘法法则， 诸如， piu di meno 乘以 piu di meno 北京师范大学数学科学学院数学思想史课程期末论文 7 得负，而 piu di meno 乘以 meno di meno 得正 ， 。4 与此同时，邦贝利

13、还在代数中举了大量的例子，来说明这种运算在解决三次 方程求根问题中是可行并且是唯一的， 而且他还指出， 利用他新定义的数和运算 解决以前无解的二次方程（ ）也是可行的。虽然邦贝利给出了现代数学证 明是正确的复数定义和复数运算法则，并且给了后面的数学家以非常大的启示， 但是他以及持此接力棒的上一人卡当依然不是对于这个数字百分之百予以 肯定，其中的原因不难猜测：当时数学界从来不会承认根号下负数时有解的，大 背景下的小人物要突破当时的思想禁锢是需要非常大的勇气， 而有这种勇气的人 往往是划时代的大数学家。 1.2 复数在复数在 17-19 世纪的发展世纪的发展 真理性的东西一定可以经得住时间和空间的

14、考验， 最终占有自己的一席之地。 而这就是复数从“虚无之数”到被数学界所接受经历的漫漫长路。在研究方程的 解的时候，荷兰数学家阿尔伯特吉拉德（Albert Gerald 1595-1632）认为，为了 建立根与系数的一般法则（即代数基本定理） ，在统计解的个数时必须把虚根包 括在内（他称虚根是不可能的） 。4但法国大哲学家和数学家笛卡尔（R.Descartes 1596-1690）却给虚根起名字为“虚数” （imaginary number） ，言下之意是这个数 是人们虚构出来的东西。笛卡尔认为与虚数相应的几何作图是不可能做出来。8 直至到了 17-19 世纪，虚数才在几位划时代的数学家的研究中“正名” ，然 而这一过程也是曲折漫长的。 1702 年, 约翰 伯努利(J.BernoullI 1667-1748)通过积 分得到 ，他的工作引起了数学家对负数和复数的对数性质的 讨论。法国数学家达朗贝尔（Jean le Rond DAlembert 1717-1783）是早期研究复 数的数学家之一，他在 1747 年指出，如果按照多项式的四则运算规则